欧拉定理 数论_数论中的柯西定理_欧拉函数定理

威尔逊定理

充分性

如果p不是素数，

当p=4时，显然（p-1)!≡6≡2(mod p),

当p>4时，若p不是完全平方数，则存在两个不等的因数a，b使得ab=p，

则(p-1)!≡nab≡0(mod p);

若p是完全平方数即p=k^2，因为p>4,所以k>2，k,2k<p，

(p-1)!≡n(k*2k)≡n'k^2≡0(mod p)。

必要性

如果要求任意两个数的公约数，最简单的办法是取他们的模，如果模与小数的公约数就是这个模，那么这个模就是这两个数的公约数。背景命题为真是因为朴素集合论有一个概括公理：对任意性质p(x)，存在集合s，使得对任意对象x，x∈s。default 设置空值的默认输出内容 contain 集合或字符串是否包含某个元素或子串 length 取集合元素个数或字符串长度 reverse 倒序排列集合元素（如果集合有序的） random 从集合中随机取一个元素 equal 逻辑相等判断 and 逻辑与运算 or 逻辑或运算 not 真假值取反 date 格式化时间变量 abs 取变量的绝对值 divisible 判断变量是否被整除 add 进行变量的加法运算 multiply 进行变量的乘法运算 divide 进行变量的除法运算 escape html特殊字符转义 lower 把字符串都转换成小写。

那么A中的元素是不是恰好两两配对呢?

不一定,但只需考虑这种情况x^2 ≡ 1 ( mod p )

解得: x ≡ 1 ( mod p ) 或 x ≡ p - 1 ( mod p )

其余两两配对;故而( p - 1 )! ≡ 1﹡( p -1 ) ≡ -1 ( mod p )

欧拉定理

设x（1），x（2），...，x(φ(n))是一个以n为模的简系，

则ax（1），ax（2），...，ax（φ(n) ）也是一个以n为模的简系（因为（a，n）=1）。

于是有ax（1）ax（2）...ax（φ(n) ）≡x（1）x（2）...x(φ(n))（mod n），

所以a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。证毕。

孙子定理

孙子定理 ，又称中国剩余定理。

通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解: 确定了通解中任意常数以后的解初始条件: 用来确定特解的条件初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一个就是一阶微分方程，三种可解的类型，可分离变量的方程，还有齐次方程，还有一阶线性微分方程，这三种方程你要确实掌握，不管给了你什么样的题，你应该能够准确的做出来。定理14.1(红黑树的扩张) : 设\(f\) 是n个结点的红黑树\(t\) 扩张的属性, 且假设对任意结点\(x\) , \(f\) 的值仅依赖于结点\(x\) , \(x.left\) 和 \(x.right\) 的信息, 还可能包括\(x.left.f\) 和\(x.right.f\) . 那么, 我们可以在插入和删除期间对\(t\) 的所有结点的\(f\) 值进行维护, 并且不影响和两个操作的o(lgn)渐近时间性能.。介绍完了之后我们将会介绍著名的哥德尔不完备性定理，然后我们就会发现，通过哥德尔不完备性定理证明中的一个核心构造式，只需一步自然的推导就能得出我们的。

将构造结果代入验证即可。

费马小定理

因为p是质数，且（a，p)=1，所以φ(p)=p-1。

由欧拉定理可得a^(p-1) ≡1（mod p）欧拉定理 数论。证毕。

对于该式又有a^p ≡a（mod p），

所以，费马小定理的另一种表述为：假如p是质数，且(a,p)=1，那么a^p ≡a（mod p）。