1的图象的顶点为A。二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于

二次函数的图像

剪力滞翘曲位移函数的选取比较混乱，多种形式的翘曲位移函数曾被采用过，它们主要有: 二次抛物线、三次抛物线、四次抛物线、五次和六次抛物线、余弦曲线、悬链线及椭圆曲线等，其中采用最多的是三次抛物线。y＝a(x－h)2(a≠0)．2．二次函数的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线．由y＝ax2(a≠0)的图象，通过平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．3．二次函数的性质二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是 ，对称轴是直线 ，顶点必在对称轴上。顶点式的妙处顶点式y=a(x－h)²+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点．当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a．在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题．在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．例题须掌握二次函数的三种表达形式：一般式y=ax²+bx+c。

抛物线的主要特征：

①有开口方向，a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；

②有对称轴；

③有顶点；

④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。

二次函数图像性质：

轴对称：

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。

a,b同号，对称轴在y轴左侧

b=0,对称轴是y轴

a,b异号，对称轴在y轴右侧

顶点：

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。

h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。

开口：

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

决定对称轴位置的因素：

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

第15讲┃二次函数的图象与性质(二) 由抛物线开口向上，得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b小于0.又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc小于0，选项①错误。 因为 0 既不是正数， 也不是负数， 它只是一个整数， 当 0 和正数在一起时， 叫 非负数， 和负数在一起时， 叫 非正数， 数轴上， 0 又为我们判断正负数大小时提供了 极大的方便，右边为正数， 左边为负数， 右边的数始终比左边大， 说明正数大于负数， 0 大于负数， 却小于正数。1左、右两边轴承端盖均无调整垫片2左边轴承内圈固定错误，轴肩高过内圈高度3键过长4齿轮轮毂的长度要长过与其配合的轴段的长度1－2mm5套筒高度高过右边轴承内圈的高度6右边轴承端盖与轴要留有间歇7右边轴承端盖与轴间要有密封圈8和右端轴承相配合的轴端作成阶梯轴，便于装拆9两端的轴承要设有挡油环10联轴器没有周向定位。

权利要求同步夹紧机构，其特征是以气缸(1)为驱动件，在气缸活塞杆的杆端通过接头(3)呈“y”型对称铰接左连杆(5)和右连杆(4)，在所述左连杆(5)和右连杆(4)的杆端分别通过转轴铰接左半爪(9)和右半爪(6)，所述左半爪(9)和右半爪(6)呈左右对称设置，左右爪头部可分别向内扣压在左夹紧块(10)和右夹紧块(7)上，左右爪腰部分别挂接在对称设置的固定转轴上，并可围绕固定转轴转动。本实用新型解决技术问题采用如下技术方案本实用新型同步夹紧机构的结构特点是以气缸为驱动件，在气缸活塞杆的杆端通 过接头呈“y”型对称铰接左连杆和右连杆，在所述左连杆和右连杆的杆端分别通过转轴铰 接左半爪和右半爪，所述左半爪和右半爪呈左右对称设置，左右爪头部可分别向内扣压在 左夹紧块和右夹紧块上，左右爪腰部分别挂接在对称设置的固定转轴上，并可围绕固定转 轴转动。所述反射望远镜8安装在经纬座的左水平轴5和右水平轴6之间的中间块9上，左水平轴5和右水平轴6的轴头分别安装在上盘20上的左叉臂3和右叉臂4上，上盘20套装在中盘19上的方位轴15上，方位轴15的轴端上安装有方位码盘16，上盘20和中盘19之间安装有平面轴承13，中盘19安装在底盘18上的支承座14上，底盘18安装在基墩17上。

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

决定与y轴交点的因素:

常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于（0,C）

注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。

与x轴交点个数：

a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。

k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。

a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。

②若u=g(x)在a上是增（或减）函数，而y= f(u)在b上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在a上是减函数。函数y＝x－1、y＝x－2、y＝x－3的图象都过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴的图象在下方，向上离y轴越远．。函数 、 的图象都过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴，指数越小，向右无限接近x轴的图象在下方，向上离y轴越远．。

②若u=g(x)在a上是增（或减）函数，而y= f(u)在b上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在a上是减函数。 （2）常见的音程的名称： 距离0个半音：完全一度 距离1个半音：小二度（mi / fa）、增一度（do / ＃do） 距离2个半音：大二度（do / re）、减三度（＃re / fa） 距离3个半音：小三度、增二度 距离4个半音：大三度、减四度 距离5个半音：完全四度 距离6个半音：增四度、减五度 距离7个半音：完全五度 距离8个半音：小六度 距离9个半音：大六度 距离10个半音：小七度 距离11个半音：大七度 距离12个半音：完全八度 记住最基本的自然音程，其他的就依照原则去推论：若这个音程是大、小、完全音程，那就没什么关系了。imshow(im1)image与colormapimage函数是matlab最基本的图像显示函数，可以绘制索引图像，即每个像素的值对应颜色查找表中的索引colormap：定义图像显示用的颜色查找表imagesc将数据scale后绘制成图（例如绘制相关矩阵）image与imshowimshow仅用于显示由rgb或灰度值定义的图像（image也可以）无论是哪个函数，若图像是以uint8表示的，则取值范围为0~255，若以double表示，则取值范围是0~1image 绘制数据imagesc & colormap绘制相关矩阵a = rand(10)。

当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。

求二次函数的解析式：

最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：

（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；

（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：

理解题意；

建立数学模型；

解决题目提出的问题。如图 二次函数图像的顶点为坐标原点o

（2）应用二次函数求实际问题中的最值：

即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。

求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

二次函数的三种表达形式：

①一般式：

y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]

把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

②顶点式：

a 相等， 抛物线的开口大小、 形状相同. ②平行于 y 轴（或重合） 的直线记作hx =.特别地，y 轴记作直线0=x. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy = 当0>a时 开口向上 当0

有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；

当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，。当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象。当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象。

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象。当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象。当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象。

当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到。当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，。

③交点式：

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .

已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤：

二次函数

∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),

∴y=ax2+bx+c

=a(x2+b/ax+c/a)

=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]

=a(x-x1)(x-x2).

重要概念：

a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；

a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。

a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；

能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；

能熟练地运用二次函数解决实际问题。

二次函数的其他表达形式：

①牛顿插值公式:

f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

双根式

y=a(x-x1)*(x-x2)

(第 8 题) 8．如图，隧道的截面由抛物线 aed 和矩形 abcd(不含 ad)构成．矩形的长 bc 为 8 m，宽ab 为 2 m．以 bc 所在的直线为 x 轴、线段 bc 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点 e 到坐标原点 o 的距离为 6 m。(2)经过b，c两点的直线交抛物线的对称轴于点d，点p为直线bc上方抛物线上的一动点，当△pcd的面积最大时，q从点p出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点m处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点n处，最后沿适当的路径运动到点a处停止．当点q的运动路径最短时，求点n的坐标及点q经过的最短路径的长。＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是 和 ，这两点的距离为 。