三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心 。 三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。 重心： ABC  中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心： ABC  中、每条边上所对应的垂线上的交点； 内心： ABC  中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心： ABC  中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。 一、重心 1、 O 是 ABC  的重心  0    OC OB OA 若 O 是 ABC  的重心，则 ABC AOB AOC BOC       31故 0    OC OB OA , ) (31PC PB PA PG     G 为 ABC  的重心. 2、 P 是△ ABC 所在平面内任一点. G 是△ ABC 的重心  ) (31PC PB PA PG    . 证明： CG PC BG PB AG PA PG        ) ( ) ( 3 PC PB PA CG BG AG PG       ∵ G 是△ ABC 的重心 ∴ 0    GC GB GA  0    CG BG AG ，即 PC PB PA PG    3 由此可得 ) (31PC PB PA PG    .（反之亦然（证略）） 3、已知 O 是平面上一定点， A B C ， ， 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足( ) OP OA AB AC     ， (0 )    ， ，则 P 的轨迹一定通过 ABC △ 的重心. 例 1 若 O 为 ABC  内一点， 0 OA OB OC    ，则 O 是 ABC  的（） A．内心B．外心C．垂心D．重心二、垂心 1、 O 是 ABC  的垂心  OC OA OC OB OB OA      若 O 是 ABC  (非直角三角形)的垂心，则 故 0 tan tan tan    OC C OB B OA A 2、 H 是面内任一点， HA HC HC HB HB HA       点 H 是△ ABC 的垂心. 由 AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA             0 0 ) ( , 同理 AB HC  ， BC HA .故 H 是 ABC  的垂心. （反之亦然（证略）） 3、 P 是 ABC △ 所在平面上一点，若 PA PC PC PB PB PA      ，则 P 是 ABC △ 的垂心． 由 PA PB PB PC    ，得 ( ) 0 PB PA PC    ，即 0 PB CA   ，所以 PB CA ⊥ ．同理可证 PC AB ⊥ ， PA BC ⊥ ． ∴ P 是 ABC △ 的垂心．如图 1. PABC 4、已知 O 是平面上一定点， A B C ， ， 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足cos cosAB ACOP OAAB B AC C      ， (0 )    ， ，则动点 P 的轨迹一定通过ABC △ 的垂心． 例 2 P 是△ABC 所在平面上一点，若 PA PC PC PB PB PA      ，则 P 是△ABC的（） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 图 1 图⑷ HFEMABCOP 三、内心 1、 O 是 ABC  的内心的充要条件是 0      CBCBCACAOCBCBCBABAOBACACABABOA 引进单位向量，使条件变得更简洁。

1、如图,在平行四边形abcd中,对角线ac与bd交于点o,ab→+ad→=λ ao→,则λ=________.2、若点m是△abc所在平面内的一点,且满足5am→=ab→+3ac→,则△abm与△abc的面积比为______3、设d,e分别是 △abc的边ab,bc上的点,ad=12ab,be =23bc.若de→=λ1 ab→+λ2 ac→（λ1,λ2为实数）,则λ1+λ2的值为______4、已知向量a,b不共线, c=λa+b,d=a+（2λ-1）b,若c与d同向,则实数λ的值为____5、设a,b是两个不共线向量,ab→=2a+pb,bc→=a+b,cd→=a-2b, 若a,b,d三点共线,则实数p的值为______6、若非零向量a,b满足|a|=|b|,且（2a+b）•b=0,则向量a,b的夹角为______7、已知向量ab→与ac→的夹角为120°,且|ab→|=3,|ac→|=2.若ap→=λab→+ac→,且ap→⊥bc→,则实数λ的值为______。一种比较快捷的解法是将三个点做出两个相交向量，然后将选项中给定的点也写成向量形式与两个相交向量分别相乘，两个结果都是0则该向量与三个点确定的平面垂直。【复习内容】1.平面向量数量积（内积）的定义:=________2.平面向量数量积的性质:设均为非空向量:3.向量的数量积满足下列运算律①___________已知向量与实数。

5、已知 O 是平面上一定点， A B C ， ， 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足A C B 1e2eP bacIA CB OCABAB ACOP OAAB AC      ， (0 )    ， ，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC △ 的内心． 由题意得AB ACAPAB AC     ， ∴当 (0 )    ， 时， AP 表示 BAC  的平分线所在直线方向的向量，故动点 P 的轨迹一定通过 ABC △ 的内心，如图。 例 3 O 平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足) (ACACABABOA OP     ，     , 0  则 P 点的轨迹一定通过 ABC  的（ ） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 四、外心 1、 O 是 ABC  的外心  OC OB OA   ,若 O 是ABC  的外心则 C B A AOB AOC BOC S S SAOB AOC BOC2 sin : 2 sin : 2 sin sin : sin : sin : :        故 0 sin sin sin    OC C OB B OA A 。

2、 已知 O 是 ABC △ 所在平面上一点，若2 2 2OA OB OC   ，则 O 是 ABC △ 的外心． 若2 2 2OA OB OC   ，则2 2 2OA OB OC   ，∴ OA OB OC   ，则 O 是 ABC △的外心，如图 1。ABCOP图 1 MOBCAP图 2A B(x 1 ,0) C(x 2 ,y 2 ) y x H Q G D E F 3、已知 O 是平面上的一定点， A B C ， ， 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC C      ， (0 )    ， ，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC △ 的外心，如图 2。 例 4 若 O 为 ABC  内一点， OA OB OC   ，则 O 是 ABC  的（） A ． 内 心B ． 外 心C ． 垂心D．重心 关于“欧拉定理”的一些问题： 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”； （2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。

例 5 在△ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三点共线，且 QG:GH=1:2。 证明： 以 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。三角形重心向量性质设 A(0,0)、B（x 1 ,0）、C(x 2 ,y 2 )，D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点，则有： 1 1 2 2 2 2,0) ( , ) ( , )2 2 2 2 2x x x y x yE FD（ 、 、 由题设可设13 2 4, ) ( , )2xQ y H x y （ 、 , 1 2 2( , )3 3x x yG2 1 22 4 3( , ) ( , )2 2 2x x yAH x y QF y      ， 2 1 2( , ) BC x x y   2 2 1 2 42 2 142( ) 0( )AH BCAH BC x x x y yx x xyy       2 1 22 2 32 2 1 232( ) ( ) 02 2 2( )2 2QF ACx x yQF AC x y yx x x yyy         1 2 1 2 2 1 22 4 32 3 ( )( , ) , )2 2x x x x x x yQH x y y       2（2 2y 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 232 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 22 ( )( , ) , )3 2 3 3 22 3 ( ) 2 3 ( ) 1( , ) ( , )6 3 21=3x x x y x x y x x x yQG yx x x x x y x x x x x yQH                22 2（6 2y6 6y 2 2y 即 =3 QH QG ，故 Q、G、H 三点共线，且 2 1 : ：  GH QG 例 6 ．若 O 、H 分别是△ ABC 的外心和垂心 . 求证 OC OB OA OH    . 证明 若△ ABC 的垂心为 H ，外心为 O ，如图. 连 BO 并延长交外接圆于 D ，连结 AD ， CD . ∴ AB AD ， BC CD .又垂心为 H ， BC AH ， AB CH  ， ∴ AH ∥ CD ， CH ∥ AD ， ∴四边形 AHCD 为平行四边形， ∴ OC DO DC AH    ，故 OC OB OA AH OA OH      . “欧拉定理”简化： 例 7 设 O 、 G 、 H 分别是锐角△ ABC 的外心、重心、垂心.求证 OH OG31证明 按重心定理 G 是△ ABC 的重心  ) (31OC OB OA OG    按垂心定理 OC OB OA OH   由此可得 OH OG31 .补充练习一： 1．已知 C B A 、 、 是平面上不共线的三点， O 是 ABC  的重心，动点 P 满足 OP =31 (21OA + OB21+2 OC ),则点 P 一定为 ABC （ ） A. AB 边中线的中点B. AB 边中线的三等分点（非重心） C.重心D. AB 边的中点 2．在 同 一 个 平 面 上 有 ABC  及 一 点 Ｏ 满 足 关 系 式 ：2 2 2 2 2 2AB OC AC OB BC OA      ，则Ｏ为 ABC  的（ ） A 外心B 内心C 重心D 垂心 2．已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足： 0 PA PB PC    ， 则 P 为 ABC  的( ) Ａ 外心Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3．已知 O 是平面上一 定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足： ) ( AC AB OA OP     ，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） Ａ 外心Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 4．已知△ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且动点 P 满足： 0 PA PC PA PB PB PC       ，则 P 点为三角形的（） Ａ 外心Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 5 ． 已 知 △ ABC ， P 为 三 角 形 所 在 平 面 上 的 一 点 ， 且 点 P 满 足 ：0 a PA b PB c PC       ， 则 P 点 为 三 角 形 的（ ） Ａ 外心Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 6．在三角形 ABC 中，动点 P 满足： CP AB CB CA    22 2，则 P 点轨迹一定通过 △ ABC 的 ：（ ） Ａ 外心Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 7.已知非零向量 AB 与 AC 满足21, 0    ACACABABBCACACABAB且 ， 则ABC  为 A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形 8. ABC  的 外 接 圆 的 圆 心 为 O ， 两 条 边 上 的 高 的 交 点 为 H ，) ( OC OB OA m OH    ，则实数 m = 。

9.点 O 是 ABC  所在平面内的一点，满足 OA OC OC OB OB OA      ，则点 O 是ABC  的（） A 三个内角的角平分线的交点 B 三条边的垂直平分线的点 C 三条中线的交点D 三条高的交点 10. 已知点 G 是 ABC  的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且 AM xAB  ， AN yAC  ，则1 13x y  。证 点 G 是 ABC  的重心，知 GA GB GC    O ， 得 ( ) ( ) AG AB AG AC AG       O ，有1( )3AG AB AC   。又 M，N，G 三点共线（A 不在直线 MN 上）， 于是存在 ,   ，使得 ( 1) AG AM AN         且 ， 有 AG xAB yAC     =1( )3AB AC  ， 得113x y     ，于是得1 13x y  。补充练习二： 1、已知 O 是△ABC 内的一点，若2 2 2OC OB OA   ，则 O 是△ABC 的〔 〕 A、重心B、垂心C、外心D、内心 2 、 在 △ ABC 中 ， 有 命 题 ① BC AC AB   ； ② 0    CA BC AB ； ③ 若    0     AC AB AC AB ，则△ABC 为等腰三角形；④若 0   AC AB ，则 ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕 A、①②B、①④C、②③D、②③④ 3、已知△ABC 中，有 0   BCACACABAB和21 ACACABAB,试判断△ABC 的形状。

6．匀强电场中有a、b、c三点．在以它们为顶点的三角形中，∠a＝30°、∠c＝90°．电场方向与三角形所在平面平行．已知a、b和c点的电势分别为v、 v和2 v．该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为（b ）。16．在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，点是正方形所在平面内的一个动点，且，则线段的长度的最大值为 ▲ .。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径： 1：垂直于弦的直径平分这条弦，po＝r：若已知两点a(a1、x2,-e/，“r代表半径。