三角函数求导数公式推导的初等几何方法

三角函数导数公式推导的初等方法 李天福 中国地质科学院地质研究所 100037 孙岩 北京联合大学特殊教育学院 100075 摘要： 为了 用不同于通常教材中常见的途径求得三角函数的导数公式， 本文用初等几何方法推导了三角函数的求导公式， 概要步骤是正弦函数差商转化为单位圆中的线段/弧比， 然后通过x0limΔcosΔx=1 将线段/弧比转化为三角形的边/边比， 根据几何关系获得并求极限x0limΔcos(x+Δx/2)， 从而求得正弦函数的导数公式； 用类似的方法，也求得了余弦函数的导数公式。 本文的方法具有明了 和直观的特点。 关键词： 三角函数， 导数， 初等几何 Abstract： In order to deduce the derivative formulas of trigonometric functions by other approach than usual one in current using， our paper presents a new method that only uses elementary geometry knowledge to derive the formulas. The main process is roughly: line segment/arc length ratio of sine function in unit circle is translate into side/side ratio of triangle through key step x0limΔcosΔx=1, cos(x+Δx/2) is gotten according to relationship of line segment/line segment ratio, and the derivative formula of sine function is attained operating the x0limΔcos(x+Δx/2). Derivative formula of cosine function is also acquired using the similar method. This process is primary and plain. Keywords： trigonometric functions， derivative， elementary geometry 1. 问题的提出 现行的高等数学[1]、 高中教材[2]乃至数学普及著作[3]中， 对于三角函数的求导所用的方法都是千篇一律的解析法， 在第二步差商阶段， 一般有两种方法， 或者将分式的分子用三角函数的和差化积方法， 或者用两角 和的三角函数公式， 然后在第三步取极限时用到重要极限x0limΔsinxx ΔΔ=1。

（公式三）（公式四）这四组公式都叫做三角函数的诱导公式（三）例题例1：求下列三角函数值：cos150 。角． (1)给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函 数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数． (2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差 异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时 也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题。(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.。

下面探讨如何求得极限x0limΔCDDE， 主要目的是如何把线段 DE与弧CD 的比转化成线段 DE与线段 CD 的比， 即三角形两边之间的比。 做 DFOC⊥， DG⊥OBCDEF△∽△OD， 所以，ODGDFG△∽△， 所以E∠ DF=BOC=x∠，FDG=DOG=Δx∠∠。 则在DFG△中有DFDG=cosFDG=cosΔx∠， 想到这个是本文中最关键的地方所以FDGlim0FDGlim0x0DFDG=FDG= limxcoscos∠∠ΔΔ∠=1， 即 Δx→0 时， DF=DG。 又因为 DF＜CD＜CD ＜DG， 所以 Δx→0 时， DF=CD=CD =DG， 所以 Δx→0 时，CDDE=DECD， 即在△CDE 中，DECD=cosCDE∠。 有了以上的准备， 现在求极限x0limΔCDDE： x0limΔCDDE=x0limΔDECD=x0limΔcosCDE=∠x0limΔcos（EDF+CDF∠∠）。

又因为弦切角CDG=Δx/2∠， 所以CDF=FDG∠∠-CDG=Δx∠-Δx/2=Δx/2， 即CDF=CDG=Δx/2∠∠。 x0limΔcos（EDF+CDF∠∠） =x0limΔcos(x+Δx/2)=cosx=OB。 类似地， 对于余弦三角函数的求导， 有 单位圆中三角形边角关系图 A O B D E C F G x Δ x x 找到 x→0时 cos x=1 这个桥梁为后面把线段/弧→线段/线段起到了关键作用这里线段/弧→线段/线段的转换已经完成CD弧的长度线段长度的补充证明扇形COD的面积为(π *OD^2)*x/2π三角形DOG的面积为OD*DG/2。因为扇形COD的面积三角形DOG的面积所以CD弧的长度=OD*x线段的长度DG处为单位圆OD为1所以xDGDG此半径DG。Δcosx=cos(x+Δx)-cosx=OA-OB=CE＜0； Δcosx/Δx=（cos(x+Δx)-cosx） /Δx=CE︵<0； CD所以x0limΔCE︵=CDx0limΔCECD=-x0limΔsinCDE=∠-x0limΔsin（ED∠F+CDF∠） =-x0limΔsin(x+Δx/2)=-sinx=-BC。三角函数求导数公式

2000年以来，国内文化研究热潮高涨，受此影响，学者们开始注意从文化学角度解读体育史，《中国古代体育文化史》（由《天津人民出版社》2000年出版），《图说中国古代体育文化》（由《世界图书出版社公司》2007年出版），《中国古代体育文化》（由《人民体育出版社》2009年出版），《中国传统体育》（由首都师范大学出版社2006年出版）。计算时间1236应用timevalue函数计算时间1244综合实战：人事档案管理125第6章数学与三角函数1281数学与三角函数的分类1282数学函数1311应用abs函数计算绝对值1322应用ceiling.math函数按条件向上舍入数值1323应用combin函数计算给定数目对象的组合数1334应用even函数计算取整后最接近的偶数1345应用exp函数计算e的n次幂1356应用fact函数计。北方妇儿晨光晨光内蒙大学内蒙大学内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民内蒙人民天津人民天津人民天津人民九洲吉林文史吉林文史吉林文史吉林文史明天出版明天出版明天出版成都出版成都出版上海教育国际文化晨光晨光。