花了10分钟，终于弄懂了特征值和特征向量到底有什么意义

今天，超模君看到了一句神翻译：

吓得超模君马上放下手中的苹果手机，来码字了！之前有模友说想知道矩阵的特征值和特征向量的意义，那超模君就写写它们吧。

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特征值和特征向量的由来

超模君：特征值和特征向量是怎么来的呢？

小天：我知道来自哪里！请看下图：（deng~deng~deng~deng）

算是回答对一半吧！谈到线性代数课本里面的一些概念，比如行列式、矩阵乘积、线性变换、二次型等，或许很少人知道它们是谁发现的，这不像高数/数分课本上那么明显：柯西收敛准则、拉格朗日中值定理、魏尔斯特拉斯判别法。

下面用一个表格来总结一下线性代数的发展史上做出重要贡献的数学家：

其实，在北宋时期，我国就与发现矩阵特征值理论的机会擦肩而过。

在古代，洞房是一件很美好的事，正所谓“春宵一刻值千金”，但是有一位诗人洞房就没有那么简单了。他就是秦少游（1049年—1100年9月17日），在洞房之前却需要回答娘子出的三道难题，其中最后一道是给出上联：闭门推出床前月，要求作出下联。秦少游一时没有头绪，当他看到苏东波往池塘里扔了一颗小石头后，得到一句“投石冲开水底天”的泡妞下联后，就猴急猴急地去洞房了，完全没有想到层层水波中隐含着矩阵的特征值及特征向量的科学大道理。

秦少游

大概地说，水面附近的任一点水珠在原处上下振动（实际上在做近似圆周运动），并没有随着波浪向外圈移动，同时这些上下振动的水珠的幅度在渐渐变小，直至趋于平静。在由某块有着特定质量和形状的石头被以某种角度和速度投入某个面积和深度特定的水池中所决定的某个矩阵中，纹波荡漾中水珠的渐变过程中其特征值起着决定性的作用，它决定着水珠振动的频率和幅度减弱的衰退率。

所以这功劳就给了英国的数学家凯莱(A.Cayley，1821-1895)，他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并在1858年发表了论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。

另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征值以及有关矩阵的一些基本结果。

矩阵论的创立者

好了，现在超模君就说一下它们的定义吧：

对于给定矩阵A，寻找一个常数λ（可以为复数）和非零向量x，使得向量x被矩阵A作用后所得的向量Ax与原向量x平行，并且满足Ax=λx。

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特征值和特征向量的几何意义

看到硬生生的定义，模友估计会感到有点迷糊，那超模君就再从几何角度来讲一下它们到底是什么东西：

我们以一个恋爱故事为栗子：

任何时候需要向量，都只需要一个列矩阵(如果需要一个转置或者共轭向量，则需要一个行矩阵)。方程的左边是[z1，z2]t，用向量z来表示，权重则是矩阵w（2行3列的矩阵），于是，输出公式可以改写成：。peaks符号计算多变量taylor级数展开将u一律编码的信号转换为线性信号空值输入宗量数验证函数输入宗量数函数输出宗量数二项式系数和全部组合数产生高维格点矩阵返回维数求数组维数数组a的维数准备新的缺省图，轴下一个新图取最接近的较大2次幂非负二乘解矩阵的非零元素总数矩阵的非零元素总数矩阵或向量范数正态分布累计概率密度函数估计矩阵的最大范数矢量估计矩阵2范数正态分布逆累计概率密度函数正态分布概率密度函数正态随机数发生器启动matlab和word的集成环境当前时钟时间零空间把非整数转换为串获取最小公分母和相应的分子表达式返回矩阵元素个数元素个数nyquist图指定存放非零元素所需内存非stiff微分方程边步长解算器stiff微分方程变步长解算器低阶法解微分方程低阶法解刚性微分方程适度stiff微分方程解算器stiff微分方程解算器非stiff微分方程变步长解算器ode文件模版获知ode选项设置参数ode输出函数的二维像平面图ode输出函数的三维相空间图ode输出函数的时间轨迹图在matlab指令窗显示结果全为1的阵打开图形从options构架中取得优化参数创建或改写优化泛函指令的选项参数值创建/修改option构架设定图形的排放方式设置走纸方向值空间正交化收集matlab内存碎块扩大内存调出图形排版对话框pascal矩阵创建块对象设置matlab搜索路径搜索路径管理器暂停暂停画坐标框属性分段hermit插值创建预解译p码文件伪彩图matlab提供的典型三维曲面具有两变量的采样数据函数。