反三角函数求导公式的证明

反三角函数求导公式的证明 § 2. 3 反函数的导数， 复合函数的求导法则 一、 反函数的导数 设)(yxϕ=是直接函数，)(xfy =是它的反函数， 假定)(yxϕ=在Iy内单调、 可导， 而且0)(≠′ yϕ， 则反函数)(xfy =在间}, )y(|{yxIyxxI∈==ϕ内也是单调、 可导的， 而且 )(1)(yxfϕ′=′(1) 证明： ∀ ∈xIx， 给x以增量 xΔ), 0(xIxxx∈Δ+≠Δ 由 )(xfy = 在 Ix 上的单调性可知 0)()(≠−Δ+=Δxfxxfy 于是 yxxyΔΔ=ΔΔ1因直接函数)(yxϕ=在Iy上单调、 可导， 故它是连续的，且反函数)(xfy =在Ix上也是连续的， 当0→Δx时， 必有0→Δy )(11limy→Δlimx→Δ00yyxxyϕ′=ΔΔ=ΔΔ即：)(1)(yxfϕ′=′ 【例 1】 试证明下列基本导数公式 ( ). ( arcsin1)( ). (2)( ). ( log3)ln1111122xxarctgxxaxax′ =−′ =+′ =证 1、 设yxsin=为直接函数，xyarcsin=是它的反函数 函数 yxsin=在 )2,2(ππ−=yI上单调、 可导， 且 ′ =≠xycos0 因此， 在 )1 , 1( −=xI上， 有 yxcos1)arcsin(=′ 注意到， 当)2,2(ππ−∈y时，0cos>y，221sin1cosxyy−=−= 因此， 211)arcsin(xx−=′ 证 2 设xtgy=，)2,2(ππ−=yI 则yarctgx=，Ix= − ∞ + ∞(,) tgyx = 在 Iy上单调、 可导且 0cos12>=′yx 故 2221111cos)(1)(xytgytgyarctgx+=+==′=′ 证 3 axaaaayyxln1ln1)(1)log(==′=′ 类似地， 我们可以证明下列导数公式：( arccos)()( ln)xxarcctgxxxx′ = −−′ = −+′ =1111122 二、 复合函数的求导法则 如果)(xuϕ=在点x0可导， 而)(ufy =在点)(00xuϕ=可导， 则复合函数] )x([ϕfy=在点x0可导， 且导数为 )()(000xufdxdyxxϕ′⋅′== 证明： 因)(limu→Δ00ufxy′=ΔΔ， 由极限与无穷小的关系， 有 ) 0,0()(0→→ΔΔ⋅+Δ′=Δαα时当 uuuufy 用0≠Δx去除上式两边得： xuxuufxyΔΔ⋅+ΔΔ⋅′=ΔΔα)(0 由)(xuϕ=在x0的可导性有： 00→Δ⇔→Δux， 0lim→Δulim→Δx0α0α== ])([limx→Δlimx→Δ000xuxuufxyΔΔ⋅+ΔΔ⋅′=ΔΔα xuxuufxxxΔΔ⋅+ΔΔ⋅′=→Δlim→Δlim→Δlim00α00)( )()(00xufϕ′⋅′=即)()(000xufdxdyxxϕ′⋅′== 上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述： 若ux= ϕ( )在开区间Ix可导，yf u( )在开区间Iu可导， 且∀ ∈=xIx时， 对应的 uIu∈， 则复合函数] )x([ϕfy=在Ix内可导， 且 dxdududydxdy⋅=(2) 复合函数求导法则是一个非常重要的法则， 特给出如下注记： 弄懂了锁链规则的实质之后， 不难给出复合更多层函数的求导公式。反三角函数求导公式推导