三角函数和差化积公式 解三角形高考题|探析高考中的解三角形问题

篇一 ： 探析高考中的解三角形问题

本节内容是历年高考的热点，主要有三种题型：一是与三角函数相结合，通过三角恒等变换进行化简求值，然后利用正弦、余弦定理求解边长，角度，周长，面积等;二是与平面向量、不等式相结合，利用向量数量积运算，不等式性质判断三角形的形状或结合正弦、余弦定理化简求值，这两种题型一般难度不大，属中档题目;三是运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.

题型一、直接利用正弦、余弦定理解三角形

例1 在？驻ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，

且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

（Ⅰ）求A的大小;

（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断？驻ABC的形状.

解析 （Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，

即a2=b2+c2+bc.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，

故cosA=-，A=120°.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC.

又sinB+sinC=1，得sinB?sinC=，即sinB=sinC=.

因为0°

故B=C=30°.

所以？驻ABC是等腰的钝角三角形.

点评 此题难度较低，解题切入点较为容易，运用正弦、余弦定理解三角形时，要分清条件和目标，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化. 这类题型一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.

例2 在？驻ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，

且sinAcosC=3cosAsinC，求b.

解析 此题多数考生反应不知从何入手，对已知条件（1）a2-c2=2b左边是二次的，右边是一次的，考生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件（2）sinAcosC=3cosAsinC直觉上过多的关注两角和与差的正弦公式或用正切公式，甚至有的考生还想用现在已经不再考的积化和差，将思路复杂化，从而导致找不到突破口而失分.事实上此题直接同步使用正弦、余弦定理即可.

解法一：在？驻ABC中，∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：a?=3?c化简并整理得：2（a2-c2）=b2.

又由已知a2-c2=2b，∴4b=b2.解得b=4或b=0（舍）.

解法二：由余弦定理得：a2-c2=b2-2bccosA.又a2-c2=2b，b≠0.

所以b=2ccosA+2…………………………………①

又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC.

sin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC.

由正弦定理得sinB=sinC，故b=4ccosA………………②

由①②，解得b=4.

点评 高考考纲中就明确提出要加强对正弦、余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高考生自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，（如和差化积、积化和差）不必过于强化.

题型二、利用正弦、余弦定理结合平面向量、不等式、数列解三角形

例3 已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.

解析 设最小边长为a，则另两边为a，2a.

所以最大角余弦cos？琢==-.

点评 本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度偏易.

例4 在△ABC中，已知?=3?.

（1）求证：tanB=3tanA;

（2）若cosC=，求A的值.

解析 （1）∵?=3?，∴AB?ACcosA=3BA?BCcosB，