抛物线,焦点弦_抛物线焦点弦是什么_抛物线焦点弦结论常用

有关抛物线焦点弦问题的探讨

过抛物线y2?2px(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点

结论1：AB?x1?x2?p

pp

)?(x2?)?x1?x2?p 22

2p

结论2：若直线L的倾斜角为?，则弦长AB?

sin2?AB?AF?BF?(x1?

证: (1)若??(2)若??

?

2

时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,?AB?2p?结论得证

?

2

时,设直线L的方程为：y?(x?

pp

)tan?即x?y?cot?? 代入抛物线方程得22

y2?2py?cot??p2?0由韦达定理y1y2??p2,y1?y2?2pcot?

由弦长公式得AB??cot?y1?y2?2p(1?cot?)?结论3： 过焦点的弦中通径长最小

2

2

2p

2

sin?

?sin2??1?

2p

?2p ?的最小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短.

sin2?

S2?oABp3

结论4： ?(为定值)

AB8

11OF?BF?sin??OF?AF?sin?22

111p2pp2

?OF??AF?BF?sin??OF?AB?sin????2?sin??

2222sin?2sin?2S?P3OAB??

AB8

S?OAB?S?OBF?S?0AF?

p2

结论5： (1) y1y2??p (2) x1x2=

4

2

y1y2(y1y2)2P2

证?x1?,x2?,?x1x2??2

2p2p44P

22

结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切

证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1，过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM1?

AA1?BB1

2

?

AF?BF

2

?

AB2

故结论得证

结论7：连接A1F、B1 F 则 A1F?B1F

?AA1?AF,??AA1F??AFA1?AA1//OF??AA1F??A1FO??A1FO??A1FA

同理?B1FO??B1FB??A1FB1?90??A1F?B1 F 结论8：（1）AM1?BM1 （2）M1F?AB （3）M1F

2

?AF?BF

（4）设AM1 与A1F相交于H ，M1B与 FB1相交于Q 则M1，Q，F ，H四点共圆 （5）AM1

2

?M1B?4M1M

22

证：由结论（6）知M1 在以AB为直径的圆上? AM1?BM1

??A1FB1为直角三角形， M1 是斜边A1 B1 的中点 ?A1M1?M1F??M1FA1??M1A1F??AA1F??AFA1

??AA1F??FA1M1??AA1M1?90? ??AFA1??A1FM1?90?

?M1F?AB

2

?M1F

?AF?BF ? AM1?BM1 ??AM1B?90?又?A1F?B1F

2

??A1FB1?90? 所以M1，Q，F,H四点共圆，AM1

?AF?BF

?M1B?AB

2

22

????AA

2

1

?BB1???2MM1??4MM1

2

2

结论9： （1）A、O、B1 三点共线 （2）B，O，A1 三点共线

（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴

（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴

证：因为koA?

y1yy2y2p?12?,koB1?2??2，而y1y2??p2

px1y1py1

?22p2y22p

（3）（4） ???koB1所以三点共线。抛物线,焦点弦同理可征（2）2

p?p

y2

所以koA?

结论10：

112?? FBp

证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为

L的倾斜角为? E,因为直线

则ER?EF?FR?P?AFcos??AF?AF?

P11?cos?

? ?

1?cos?AFP

同理可得

11?cos?112

????

BFPFAFBp

结论11：

AFAE

? (3) KAE?KBE?0(1) 线段 EF平分角?PEQ (2)

BFBE

(4) 当? ?

?

2

时 AE?BE , 当? ?

?

2

时 AE不垂直于BE

证:?BB1//EF//AA1?

B1EEA1

?

BFFA

?BF?B1B,?A1A?

B1EEA1

?

B1BA1A

??AA1E??BB1E?90???A1EA相似于?B1EB ??A1EA＝?B1EB

??AEF＋?A1EA＝?BEF＋?B1EB＝90???AEF＝?BEF即EF平分角?PEQ

?

BF

?

AEBE

?直线AE和直线BE关于X轴对称?KAE＋KBE＝0

(4)当? ? 当??

?

2

时，AF＝EF＝FB ??AEB＝90?

?

?p?

时，设直线L的方程为y?k?x-? 将其代入方程y2?2px

2?2?

2

2

k2p2pk2?2

得kx-p(k?2)x??0 设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1?x2? 2

4k

2

??

y1y2p2

???1 x1x2= 假设AE?BE则 KAE?KBE＝－1 ?

pp4x1?x2?22

p??p?p??p??p??p???

即y1y2?-?x1???x2?? ?k?x1-? ?k?x2-??-?x1???x2??

2??2?2??2??2??2???pp22p22p2k2?2k2?12

?k?1x1x2??x1?x2?k?1?k?1?0?k?1?

2422k2

?

2

???????

????

??2?0?不可能?假设错误?结论得证

111

?? 结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则 |AB||CD|2p

推广与深化：

深化 1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有y1y2??2pa．

22

证：设AB方程为my=x-a，代入y?2px．得：y?2pmy?2ap?0，∴y1y2??2pa．

|FR|1

?|AB|2 深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则

p

y?tga(x?)

2， 证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：p2

tga(x?px?)?2px2

4 代入y?2px得：，

2

2

p2

x?x(p?2pctga)??0

4 即：．

2

2

由性质1得

|AB|?x1?x2?p?2p?2pctg2a?

2p

sin2a，

x1?x2p

?

pctg2a22|FM|?||?||

cosacosa， 又设AB的中点为M，则

pctg2ap|FM|

|FE|??||?

|cosa|cos2asin2a， ∴

|FR|1?

∴|AB|2．

?

深化3：过抛物线的焦点F作n条弦A1B1、A2B2、AnBn，且它们等分周角2π，则有