2015人教版高中数学必修一教案 3.1.1方程的根与变量的零点

3.1.1 方程的根与变量的零点（教学设计） 教学目标： 知识与技能：理解方程（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程应的关系，掌握零点存在的判断条件． 过程与技巧：零点存在性的判断． 情感、态度、价值观：在变量与函数的联系中感受数学中的转换思想的涵义和价值． 教学重点： 重点：零点的概念及存在性的判断． 难点：零点的确认． 一、复习回顾，新课导入一、复习回顾，新课导入 讨 论 ： 一 元 二 次 方 程) 0( 02acbxax的 根 与 二 次 函 数) 0(2acbxaxy数的图象有哪些关系？ 先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选择函数有两个不同的根、重根和无实数根三种类别． 方程0322 xx与函数322xxy； 方程0122 xx与函数122xxy； 方程0322 xx与变量322xxy；再请同学们解方程，并分别画出三个函数的草图． 一 元 二 次 方 程) 0( 02acbxax有 两 不 同 根 就 是 相 应 的 二 次 函 数02cbxaxy的图像与x 轴有两个不同交点，且其横坐标就是根； 一 元 二 次 方 程) 0( 02acbxax有 两 个 重 根 就 是 相 应 的 二 次 函 数02cbxaxy的图像与x 轴一个交点，且其横坐标就是根； 一 元 二 次 方 程) 0( 02acbxax无 实 数 根 就 是 相 应 的 二 次 函 数02cbxaxy的图像与x 轴没有交点； 总 之人教版高中数学必修一教案下载， 一 元 二 次 方 程) 0( 02acbxax的 根 就 是 相 应 的 二 次 函 数02cbxaxy的图像与x 轴的交点的横坐标． 二、师生互动，新课讲解： 1、函数的零点 对于函数)(xfy ，我们把让0)(xf的整数 x 叫做方程)(xfy 的零点（zero point） ． 显然，函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf的整数根，也就是函数)(xfy 的图象与x 轴的交点的横坐标． 方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与 x 轴有端点函数)(xfy 有零点． 2、函数零点的判断： 研究函数的实数根也就是研究相应方程的零点，也就是研究变量的图像与 x 轴的交点情况。

问题 1：问题 1： 如果把函数当作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽视一些镜头，但是我们一直可预测出被忽视的片段。现在我有两组镜头（如图，第一组第一行两图，第二组第二行两图），哪一组能表明他的行程一定曾渡过河？第Ⅰ组可表明他的行程中必定曾渡过河，而第Ⅱ组中他的行程就不必定曾渡过河。 问题 2：问题 2：将河流抽象成 x 轴，将前后的两个位置视为 A、B 两点。请问当 A、B 与 x 轴怎样的位置关系时，AB 间的一段连续不断的变量图象与 x 轴必定会有交点？ A、B 两点在 x 轴的左侧。问题 3： 问题 3： A、B 与 x 轴的位置关系，如何用英语符号（式子）来表示？ A、B 两点在 x 轴的右侧。可以用 f（a）·f（b）<0 来表示。 问题 4： 问题 4： 满足条件的变量图象与 x 轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？ 一定在区间（a人教版高中数学必修一教案下载，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图像。 通过上述研究，让学生自己概括出零点存在性定理零点存在性定理： 一般地，我们有： 如果变量 y＝f（x）在区间上的图象是连续不断的一条曲线而且有 f（a）·f（b）<0，那么函数 y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c∈（a，b），使得 f（c）=0，这个 c 也就是方程 f（x）＝0 的根． ⑴函数零点的含义： 函数fy 的横坐标． 即：方程零点． ⑵函数零点的求法：求函数)(x的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与 x 轴交点0)(xf有实数根 函数)(xfy 的图象与x 轴有交点 函数)(xfy 有)(xfy 0的零点： ①（代数法）求函数)(xf的实数根； ②（几何法）对于不能用求根公式的等式，可以将它与变量并运用函数的性质找出零点． ⑶二次函数的零点：axybxax二次函数有两个零点． ② △＝０，方程bxax个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． ③ △＜０，方程bxax零点． 课堂练习： （课本 P88 练习 NO：1） )(xfy 的图象联系起来，) 0(2有两不等实根，二次函数的图像与x轴有两个交点，cacbx． ① △＞０，方程0202c有两相同实根（二重根） ，二次函数的图像与x轴有一02c无实根，二次函数的图像与x轴无交点，二次函数无例 1： 例 1： 观察下表，分析函数5( )f x361xx 在定义域内是否存在零点？ －2 －1 0 12-109-10 -1 8 107 分析：函数图像是连续不断的，又由于，所以在区间（0，1）上必存在零点。

我们也可以借助计算机作图（如图）帮助认识零点大致的状况。 变式训练 1： 变式训练 1： （（1）已知变量 f (x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则变量在哪几个区间内有零点？为什么？ x 1 2 3 4 6 10 f (x) 20 -5.5 -2 6 18 -3 （2）函数 f(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间上能否存在零点？若存在，有几个？ (3)观察以下函数)(xfy 的图象 ○ 1 在区间],[ ba上______(有/无)零点；)(af·)(bf_____0（＜或＞） ． ○ 2 在区间],[ cb上______(有/无)零点；)(bf·)(cf_____0（＜或＞） ． ○ 3 在区间],[ dc上______(有/无)零点；)(cf·)(df_____0（＜或＞） 例 2（课本 P88 例 1）： 例 2（课本 P88 例 1）： 求函数 ( )ln26f xxx 的零点个数． 分析：用计算器或计算机作出 x，的对应值表跟图象。1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2由表可知，f (2)<0，f (3)>0,则，这表明变量在区间（2，3）内有零点。

结合函数的单调性，进而表明零点是唯有唯一一个． 变式训练 2：变式训练 2：利用变量图象判断下列等式有几个根 （1）2x(x-2)=-3（2）0xex 例 3：已知函数13)(3xxxf，问该变量在区间) 1, 2(内是否有零点？ 解 ： 因 为01) 2(f，03) 1(f， 所 以0) 1() 2(ff， 又 函 数13)(3xxxf是连续的曲线，所以)(xf在区间) 1, 2(内有零点． 变式训练 3：变式训练 3：函数x) 3 , 2 (xxf2ln)(的零点所在的大概区间是（ B ）（A）三、课堂小结，巩固反思： ) 2 , 1 ((B)(C) ) 3 ,(e(D) ),( e如果函数)(xfy 在区间],[ ba上的图象是连续不断的一条曲线， 并且在区间端点的变量值符号相反， 那么， 函数)(xfy 在区间),( ba内大约有一个零点， 即相应的方程0)(xf在区间),( ba内大约有一个实数解． 会用代数法或几何法（特别转化为两条曲线的交点）来判定零点的个数。 四、布置作业： A 组： 1． （课本 P92 习题 3.1 A 组 NO：2） 2． 求以下函数的零点： （1）452xxy； （2）202xxy； （3）) 13)(1(2xxxy ) 23)(2()(22xxxxf．3． 求以下方程的零点，图象顶点的坐标，画出各自的图例，并强调函数值在这些区间上小于零，哪些区间上小于零： 12xxy； （2）42xy（1）12312x． 4． 已知124) 1( 2)(2mmxxmxf： （1）m 为何值时，函数的图像与x 轴有两个零点； （2）如果函数大约有一个零点在原点右侧，求m 的值． 5． 求以下方程的定义域： （1）92xy； （2）432xxy； （3）1242xxy 6．设函数 ( )ln1f xxx ．求函数)(xf的零点个数。

B 组： 1、函数 f(x)＝x＋1x的零点个数为( A ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．若 y＝f(x)在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则以下表述正确的是( ) A．若 f(a)f(b) <0，不存在实数 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 B．若 f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 C．若 f(a)f(b)>0，不存在实数 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 D．若 f(a)f(b)>0，有也许存在常数 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 答案 D 3．方程 2x＋x＝0 在以下哪个区间内有实数根( ) A．(－2，－1) B．(0,1) C．(1,2) D．(－1,0) 答案 D 4．若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么以下表述中错误的是( ) A．函数 f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点B．函数 f(x)在(3,5)内无零点 C．函数 f(x)在(2,5)内有零点D．函数 f(x)在(2,4)内不必定有零点 答案 C 5．函数 f(x)＝log3x－8＋2x 的零点一定位于区间( )A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2) 答案 B 解析 f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0， f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0. 又 f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 所以其零点一定位于区间(3,4)．