2020届高考英语（理科）复习讲义试题 第十一章 第1节 分类加法计数原理与分步

第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲1。理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2。会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析跟解决一些简单的实际问题。知 识 梳 理1。分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方式，在第2类方案中有n种不同的方式。那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方式。2。分步乘法计数原理完成一件事必须两个步骤，做第1步有m种不同的方式，做第2步有n种不同的方式，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方式。3。分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各类方式互相独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个流程都完成了才算完成这件事。[微点提醒]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其一直。1。分类加法计数原理中，完成一件事的方式属于其中一类，并且只属于其中一类。2。分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”。基 础 自 测1。判断下列结论正误(在空格内打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方式可以同样。

()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方式都可直接完成这件事。()(3)在分步乘法计数原理中，每个流程中完成这个技巧的方式是各不相同的。()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的方法都可完成这件事。()解析分类加法计数原理，每类方案中的方式都是不同的，每一种方法都可完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方式都是不同的，每步的方式只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确。答案(1)×(2)√(3)√(4)×2。(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色应对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方式共有()A。24种 B。30种C。36种 D。48种解析需要先帮C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种)。答案D3。(选修2－3P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。从书架中任取1本书，则不同取法的种数为________。

解析从书架上任取1本书，有三类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法。根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9。答案94。(2016·全国Ⅱ卷)如图，小明从街道的E处出发，先至F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选取的最短路径条数为()A。24 B。18 C。12 D。9解析分两步，第一步，从E→F，有6条可以选用的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选用的最短路径。由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选用的最短路径。故选B。答案B5。(2019·石家庄模拟)教学主楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A。10种 B。25种 C。52种 D。24种解析每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步。由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法。答案D6。(2019·菏泽六校联考)椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这种的椭圆的个数为________。

解析因为焦点在x轴上，所以m>n，以m的值为标准分类，分为四类：第一类：m＝5时，使m>n，n有4种选择；第二类：m＝4时，使m>n，n有3种选择；第三类：m＝3时，使m>n，n有2种选择；第四类：m＝2时，使m>n，n有1种选择。由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有10个。答案10考点一分类加法计数原理的应用【例1】 (1)从甲地到乙地有三种形式可以前往。每天有8班汽车、2班火车跟2班飞机。一天两人从乙地去乙地，共有________种不同的方式。(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的等式ax2＋2x＋b＝0有整数解的有序数对(a，b)的个数为________。解析(1)分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12(种)方法。(2)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使等式ax2＋2x＋b＝0有常数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1。若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2。

由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13。答案(1)12(2)13规律方式分类标准是利用分类加法计数原理的症结所在，应把握题目中的关键词、关键元素跟关键位置。(1)根据题目种类恰当选择一个分类标准。(2)分类时要切记完成这件事情的任何一种方法需要属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方式才是不同的技巧，不能重复。(3)分类时不仅不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类。【训练1】 (1)从3名女同学跟2名男朋友中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为()A。6 B。5 C。3 D。2(2)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A。3 B。4 C。6 D。8解析(1)5个人中每一个都能主持，所以共有5种选法。(2)以1为首项的等比数列为1，2，4；1平面构成教案下载，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的次序颠倒，又得到另外的4个数列，∴所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个。答案(1)B(2)D考点二分步乘法计数原理的应用【例2】 (1)用0，1，2，3，4，5能构成无重复数字的三位数的个数为________。

(2)(2018·合肥质检)五名学生报考参加四项体育赛事，每人限报一项，则不同的报名方式的种数为________。五名学生角逐四项赛事的亚军(冠军不并列)，则取得亚军的可能性有________种。解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100。(2)五名学生参与四项体育赛事，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学员有4种报名方式，共有45种不同的报名方式。五名学生角逐四项赛事的亚军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性。答案(1)100(2)4554规律方式1。利用分步乘法计数原理解决难题要按事件出现的过程合理分步，即分批是有先后次序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个方法都完成了，才算完成这件事。2。分步必须满足两个条件：一是方法相互独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成。【训练2】 已知a∈{1，2，3}，b∈{4，5，6，7}，则函数(x－a)2＋(y－b)2＝4能表示不同的圆的个数为()A。

7 B。9 C。12 D。16解析得到圆的方程分两步：第一步：确定a有3种选法；第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12(个)。答案C考点三两个计数原理的综合应用多维探究角度1与数字有关的问题【例3－1】 (2017·天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是双数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)。解析当不含偶数时，有Aeq \o\al(4,5)＝120个，当含有一个偶数时，有Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(3,5)Aeq \o\al(4,4)＝960个，所以这种的四位数共有1 080个。答案1 080角度2与几何有关的问题【例3－2】 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面组成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与带有四个顶点的平面组成的“正交线面对”的个数是()A。48 B。18 C。24 D。36解析在正方体中，每一个表面有四条棱与之平行，六个表面，共组成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之平行，共组成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”。

答案D角度3涂色、种植问题【例3－3】 (一题多解)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并让同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色能供使用，求不同的染色方式种数。解法一按所用颜色种数分类。第一类：5种颜色全用，共有Aeq \o\al(5,5)种不同的方式；第二类：只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×Aeq \o\al(4,5)种不同的方式；第三类：只用3种颜色，则A与C，B与D必定同色，共有Aeq \o\al(3,5)种不同的方式。由分类加法计数原理，得不同的染色方式种数为Aeq \o\al(5,5)＋2×Aeq \o\al(4,5)＋Aeq \o\al(3,5)＝420(种)。法二以S，A，B，C，D顺序分步染色。第一步：S点染色，有5种方法；第二步：A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步：B点染色，与S，A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步：C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要对于A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方式；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方式，D点也是2种染色方式。

由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方式 共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)。规律方式1。在综合应用两个原理解决难题时要切记：(1)一般是先分类再分步。在分步时也许又用到分类加法计数原理。(2)对于较复杂的两个原理综合应用的弊端，可正确地列举示意图或列出表格，使问题形象化、直观化。2。解决涂色问题，可按形状的种数分类，也能按不同的区域分步完成。例题中，相邻顶点不同色，要按A，C跟B，D是否同色分类处理。【训练3】 (1)(2019·衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以构成有重复数字的三位数的个数为()A。243 B。252 C。261 D。279(2)(一题多解)如图所示，用4种不同的色调涂入图中的圆形A，B，C，D中，要求相邻的方形涂色不同，则不同的涂法有()A。72种 B。48种C。24种 D。12种(3)如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)。解析(1)0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)。

(2)法一首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法。法二按规定涂色至少必须3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)。(3)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)。第二类，有两条公共边的三角形共有8个。由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)。答案(1)B(2)A(3)40[思维升华]1。应用两个计数原理的瓶颈在于确立分类还是分步。在处理详细的应用问题时，首先需要弄明白“分类”与“分步”的详细标准是哪个。选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏。2。(1)分类应做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数。(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有流程，恰好完成任务，当然步与步之间应互相独立，分步后再计算每一步的方式数，最后按照分步乘法计数原理，把完成每一步的方式数相加，得到数量。