高2010级6班（文科平行班）授课教师陈杰计划

课程类型：立体几何新教案。班级：2010年高级班6（文科平行班）

指导教师：陈杰计划授课时间：2011年10月27日上午

教学内容：学习公理一、二、 三、导出公理的三个推论

教学目标：

1. 结合问题和例子，让学生直观地感知和理解平面的基本性质（三个公理）

2.引导学生学习使用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三大公理

3.组织学生动手操作，了解公理的三个推论

4.通过平面基本性质的学习，让学生认识到我们生活的世界是一个三维空间，培养学生辩证唯物主义世界观

教学重点：结合问题实例理解平面的基本性质（三个公理）

教学难点：符号语言的正确应用、公理的基本应用

教具：多媒体课件、纸板、学生准备的木棍、课堂教案

教学形式：启发式教学、学生小组探究活动等。

第一部分教学流程设计

一、复习巩固，引入新的课程

（一）在上一课中，我们对空间中的各种位置关系有了初步的了解，从平面几何到立体几何，位置关系变得更加丰富。重要的原因之一就是在空间中，除了在点和线等基本元素的基础上，添加了一个新的元素平面。

（二）在上节课中，我们还学习了平面的概念、图形和表示。请完成以下练习：

【课堂练习】

1. 说一说——数学中“平面”概念的基本特征是什么？

2.画个图——

（1）我们通常怎么画一个水平放置的平面图形？用什么数学符号来表达？

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡平面构成教案下载，一般用虚线表示图形的三维效果。请用虚线表示右图中被遮挡的部分，使它看起来是三维的。

3.填写一次性符号语言，表达下图所示的位置关系：

(1）

,

.

(2）

,

.

(3）

,

.

(4）直

用直线

在点相交

， 表示为 __________; 直线

带飞机

在点相交

，表示为_________。

（在学生完成练习的基础上，老师会做一个简短的评论，为新课做准备）

（三）为了更深入地研究空间中的位置关系，我们需要对平面这个新元素进行必要的研究和总结。这就是本课的主要任务——理解平面的基本性质。（黑板题目）

二、新课程学习

平面的基本性质是研究立体几何的基础。人们经过长期的观察和实践，将其归纳为几条公理，由此建立了立体几何的知识体系。让我们来了解这些属性。

(一）公理一的学习

提供背景资料1：（1）如果直线和平面有一个公共点，那么直线在平面内吗？

（2） 如果直线和平面有两个公共点呢？

（3） 请举例说明你的判断。

在学生理解的基础上，总结：

【公理1】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在这个平面内。（文字语言）

教师引导学生解决以下知识点：

1.图形语言

通常绘制为上图

2. 符号语言的细化

（或写成

)

3、介绍其作用：

（1）判断直线是否在平面内（2）判断点是否在平面内

老师指出：公理1解释了平面和曲面的本质区别。直线的“直”用来描述平面的“平面”，直线的“无限延伸”用来描述平面的“无限延伸”。它可以判断直线（点）在平面内，这也为我们验证平面提供了方法依据。

(二）学习公理II

提供背景资料2：（1）生活中的现象1-三脚架支持相机和平板三脚架

（2）生活中的现象2-自行车只需要一只脚就稳

（3）这种现象所反映的平面的本质是什么？你能举出其他类似的例子吗？

在学生理解的基础上，总结：

【公理2】要通过三个不在一条直线上的点，只有一个平面。（文字语言）

教师引导学生解决以下知识点：

1、“只有一个”的理解——“那里”是指对象的存在

“只有一个”是指对象的唯一性

2.图形语言

通常绘制为上图

3.符号语言的细化（老师指出：符号语言不是万能的，有时需要文字语言来辅助）

4. 介绍其作用

（1）确定平面的依据（2）证明两个平面重合

老师指出：公理2的主要作用是为我们提供确定平面的依据，如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面一定是重合的。

(三）公理三的学习

提供背景素材3：（1）将三角板的一个角放在桌面上，三角板的平面与桌面表面是否

只有一个共同点？

（2）如果有其他共同点，它们与这个共同点有什么关系？

（3）你能找到一个例子来说明你的判断吗？

在学生理解的基础上，总结：

[公理 3] 如果两个不重合的平面有一个公共点平面构成教案下载，则它们只有一条公共直线通过该点。（文字语言）

教师引导学生解决以下知识点：

1.图形语言

通常可以画成上图

2. 符号语言的细化

3. 介绍其作用

（1）确定平面相交的位置（2）确定该点在一条直线上

老师指出：公理3描述了平面相交的特征，即两个平面的公共点形成一条直线，这为我们提供了研究两个平面相交的方法。

三、扩展思路，操作确认

1. 上面我们学习了平面的三个公理。它们是研究空间图形的重要基础，我们必须认真理解和掌握它们。

2. 对第二个公理的扩展思考（对三个推论的初步理解）

教师指导：通过稍微改变公理II的条件，我们也可以探索一些新的命题。请继续思考以下问题，互相交流理解，总结出你的结论：

(1） 把

连接成一条直线，条件变为“一条直线已知

和直线外的一点

”，请问：这样可以确定一个平面吗？能举个例子说明一下吗？

（2） 然后

也连接到一条直线，条件变为“已知两条相交的直线

”，请问：这样可以确定一个平面吗？能举个例子说明一下吗？

（3） 注意平面内的两条直线也可能平行，如果转化为平行线背景，则条件变为“已知两条平行线

”，请问：这样可以确定一个平面吗？能举个例子说明一下吗？

（组织学生分组讨论上述问题，并请学生代表交流小组讨论的结果并解释他们发现的例子）

在此基础上，老师指出：以上三个问题的结论都是肯定的，我们把它们作为公理的三个推论来丰富我们确定平面的基础。这是

推论1-在一条直线和一条直线外的一点之后，只有一个平面

推论2-通过两条相交的直线，只有一个平面

推论3-通过两条平行直线，有一个且只有一个平面

既然叫做公理的推论，那么这些命题就可以应用公理来证明。要求学生课后进一步思考和研究：你能应用今天学到的公理来证明上述三个决定平面的基础吗？

四、本课总结和作业

（一） 本课总结：

1. 三平面公理及基本应用 2．公理的三个推论（待证明）

（二） 分配：

1.课后训练：教材P51练习A组1、2、5、7 B组2

2.课后交流：相互思考和交流：公理的三个推论应该如何证明？

五、教学设计的一些注意事项

1、本课程的主要内容为必修2章2节1-平面。在进入平面的基本性质之前，教材介绍了平面的概念、图形和表示方法，以及符号语言的应用。考虑到平面的基本性质（三公理和推论）是一个整体，平面概念等知识的教学向前推进。本课的教学内容以三大公理的学习为主。

2. 本课导论阶段设计的三道习题，着重训练学生运用数学语言的基本技能，为新课做好必要的准备。

3. 三个公理的教学顺序是统一的，即“理解背景材料-归纳公理-学习图形语言和符号语言-总结公理的作用-应用公理初步解决问题”。其中，三个公理的符号语言表达对学生来说是有难度的。

4、前三道探究题的材料均来源于课本。目的是希望学生注意教材的使用。另一个层次的思考是希望学生能够找到更多的例子来说明他们符合生活现实的直觉判断。引导学生认识到在学习立体几何的过程中应该更加注重实践。

5.学生小组活动的探究部分设计了对公理三个推论的分析和归纳。不要求学生进行严谨的演绎证明，而是希望学生通过直观的感知和操作确认来理解。同时，希望学生将公理应用到公理上。对推论的合理性做出一定的解释。

6.课后练习中增加了“课后交流”的作业，可以鼓励学生尽可能多地完成。体验这个过程比知道答案更重要。

7.新教材的理念如何体现在教师的教学和学生的学习活动中，对我来说是一个很大的挑战。因此，这门课的设计是否合理，能否达到预期的效果，还有待实践检验，更需要专家和教师的指导。谢谢！

（陈杰，树德中学外国语校区2010级数学组）

第二部分“平面”课堂教学计划

一、回顾和整合

【课堂练习】

1. 说一说——数学中“平面”概念的基本特征是什么？

2.画个图——

（1）我们通常怎么画一个水平放置的平面图形？用什么数学符号来表达？

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡，一般用虚线表示图形的三维效果。请用虚线表示右图中被遮挡的部分，使它看起来是三维的。

3.填写一次性符号语言，表达下图所示的位置关系：

(1）

,

.

(2）

,

.

(3）

,

.

(4）直

用直线

在点相交

，表示为__________;

直线

带飞机

在点相交

，表示为_________。

二、了解平面的基本性质

【问题1】（1）如果直线和平面有公共点，那么直线在平面内吗？

（2） 如果直线和平面有两个公共点呢？

（3） 请举例说明你的判断。

以上经验和事实可以总结为：

[公理 1]____________________________________________________________。

1.图形语言：2.手语：3.效果：

【探索题二】（1）观察生活中的现象1-三脚架支撑相机或平板

（2）观察生活中的现象2-自行车只加一只脚就可以稳定

（3）这种现象的本质是什么？你能举出其他类似的例子吗？

以上经验和事实可以总结为：

[公理 2] __________________________________________________________________

1、“只有一个”的理解——“那里”是指对象的存在

“只有一个”是指对象的唯一性

2.图形语言：3.符号语言：4.效果：

【问题3】（1）将三角板的一角放在桌面上，三角板所在的平面是否与桌面所在的平面相同

只有一个共同点？

（2）如果有其他共同点，它们与这个共同点有什么关系？

（3）你能找到一个例子来说明你的判断吗？

以上经验和事实可以总结为：

[公理 3]

______________________________________________________________________

1.图形语言：2.手语：3.效果：

三、扩展思维

【问答题4】——公理2的延伸思考

(1） 把

连接成一条直线，条件就变成“一条直线和一条直线外的点是已知的”。这样可以确定飞机吗？你能举个例子来说明吗？

（2） 然后

连接成一条直线，条件变为“已知两条相交的直线”。这样可以确定飞机吗？你能举个例子来说明吗？

（3） 注意平面内的两条直线可能还是平行的，如果转化为平行线背景，条件就变成了“已知两条平行直线”。这样可以确定一个平面吗？可以吗？你给我一些例子？举个例子来说明？

（以上问题以小组形式讨论，请上台交流小组讨论的结果，并解释他们发现的例子）

四、本课总结和作业

（一）总结——这节课主要学习了哪些知识？

（二） 作业——

1.课后训练：教材P51练习A组1、2、5、7 B组2

2.课后交流：你能用公理证明这三个推论吗？