开普勒第三定律

3. 开普勒提出行星运动的三条定律： 第一定律（椭圆定律）：所有行星绕太阳的运动轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的1个焦点上。×窗体底端49所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 开普勒第三定律:行星到太阳平均距离a的立方同公转周期t的平方成正比，即对于任何行星：a3/t2=常数。

德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星表，通过开普勒本人的观测和分析后，于1609年在他出版的《新天文学》上发表了关于行星运动的前两条定律，又于1618年，在《宇宙谐和论》提出了第三条定律。

开普勒第三定律为经典力学的建立、牛顿的万有引力定律的发现，都作出重要的提示。

开普勒在《宇宙谐和论》上的原始表述：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。

常见表述：绕同一中心天体的所有行星的轨道的半长轴的三次方（a³）跟它的公转周期的二次方（T²）的比值都相等，即

，

（其中M为中心天体质量，k为开普勒常数，这是一个只与被绕星体有关的常量[2]，G为引力常量，其2006年国际推荐数值为G=6.67428×10⁻¹¹N·m²/kg²）不确定度为0.00067×10⁻¹¹m³kg⁻¹s⁻²。

回国后，吴文俊用了不到一个月时间就用数学机械化方法解决了这个难题──由开普勒的观测结果直接推导出牛顿引力定律。他发现了物体运动的三大定律、观测和演算，并推导出克服地球引力，电灯实验终于成功了。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律。

右图是开普勒经过艰苦计算所发现第三定律时的原始数据表

开普勒的原始数据[4]

：[5]

开普勒整理数据发现，右图下方的坐标中各点大致连成一条直线，因此他认为行星的运行周期

和

成正比（其中

为轨道半径），并计算出该直线的斜率为

，即

。

现实中的星体运动的轨道大多数是椭圆，于是便有以下推导：

利用微元，矢径R在很小的Δt时间内，扫过面积为ΔS，矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为α，椭圆的弧长为ΔR。在Δt→0时，扫过面积可以看作为三角形，

R为半长轴

面积速度为

设各行星绕太阳运行周期为T，椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c

则行星绕太阳运动的周期

。

选近日点A和远日点B来研究，由ΔS相等可得

从近日点运动到远日点的过程中，根据机械能守恒定律得：[6]

得：

由几何关系得：

，

，

所以

整理得

。

行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根据椭圆的性质则椭圆的面积

（a为长轴，b为短轴）由于单位时间内极径所扫过的面积

则周期

（1）

根据椭圆的性质和开普勒第一定律，半长轴

（2）

（2）式得

（2）式代入（1）式得

（3）

根据椭圆的性质，椭圆的半短轴

，则

（4）

式（4）代入（3）式得

在赫尔斯堡,由于朋友们不断催促,哥白尼把他的“太阳中心学说”写出了一个提纲,取了一个朴素的名字,叫《试论天体运行的假设》,抄送给他的几个心腹朋友.它宣布：“所有的天体都围绕着太阳运转,太阳附近就是宇宙中心的所在.地球也和别的行星一样绕着圆周运转.它一昼夜绕地轴自转一周,一年绕太阳公转一周…….”。彗星是一种在扁长轨道（极少数是近圆轨道）上绕太阳运行的质量较小的天体。在最后关头我加了以下代码.他绕x轴和y轴旋转(根据angle的值)然后在z轴方向移动2单位.这使我们离开了屏幕中心.如果删掉下面三行,对象会在屏幕中心打转.有了下面三行,对象旋转时看起来离我们远一些:)。

由运动总能量

，得

，则运动周期为

即

其中

，

，

，

和

是方程

的根，它们是椭圆运动的两个转折点，a为轨道半径，G为引力常量，M为中心天体的质量。

因此，天体行星（行星或卫星）围绕中心天体（太阳或地球）周转运动的力学关系可理解为：在空间向心几何力学规律作用下，任何围绕中心天体运动并与中心天体作同心周转的天体（行星或卫星）之向心加速度，和空间向心加速度的常量系数mo（开普勒第三定律的常量）成正比，与围绕中心周转的向心半径平方r^2（等于围绕中心天体周转的距离加中心天体的半径）成反比，用公式表示为a=mo/r^2，其线速度则按向心加速度的公式a=u^2/r来计算。 第三定律（调和定律）：行星绕太阳运动的公转周期（t）的平方与它们的轨道平均半径（a）的立方成正比。行星俘获小天体是行星演化进程中的一种普遍现象,不仅地球这样,太阳系其他行星也有这种现象.不少行星都各有自己的卫星,就是最好的说明.地球在形成过程中,曾有许多小天体飞到引力圈内来,其中一部分小天体直接与地球相撞,其余大部分在绕地球飞行期间,因原始大气强大阻力使轨道半径变小,最后终于落到原始地球上来.地球是在不断“吞掉”这些飞来的小天体当中成长起来的.。

)都相等，为

，M为中心天体质量。这个比值是一个与行星无关的常量，只与中心体质量有关，那么M相同是这个比值相同。

运动方程 一、弹簧振子模型（简谐振动） 弹簧振子：弹簧、物体组成的系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置 轻弹簧—质量忽略不计开普勒第三定律，形变满足胡克定律 物体—可看作质点 简谐振动 微分方程 此微分方程的解为： 简谐振动的三种定义: 1 受力 2 运动微分方程 3 运动方程 二、描述简谐振动的特征量 1、振幅 a 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。但是牛顿证明，不论天上还是地上的物体，都要遵循惯性定律、质点运动定律和作用与反作用定律，即所谓的“牛顿三定律”运动。如图所示的a，b两个物体，质量均为1kg，距地面高度为45m，a物体因在运动过程中阻力不计，其加速度为自由落体运动，加速度g=10m/s2，b物体由于受到阻力作用，其加速度大小为9m/s2开普勒第三定律，方向竖直向下，与高度相比a，b两物体均可视为质点．。

，即

，其中

，

为两质点的质量。[12]

开普勒第三定律也可以表示为：

引入天体质量后可表示为：

其中

，

为两个相应的行星质量，

，

为两个相应行星围绕同一恒星运动的周期，

，

由开普勒第三定律，绕太阳做圆周运动的行星都有 =常数.所以太阳的质量m也是定值，和行星的轨道半径及周期无关.。天体密度的计算．(1)一般思路：若天体半径为r则天体的密度ρ＝将质量代入可求得密度．(2)特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时其轨道半径r可认为等于天体半径r依据m＝ρ＝＝r可得：ρ＝特别说明：(1)计算天体质量的方法不仅适用于地球也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用明确计算出的是中心天体的质量．(2)要注意r、r的区分．r指中心天体的半径指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行则有r＝r。10. 两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别为r1和r，若它们只受太阳万有引力的作用，那么这两个行星向心加速度之比为。

实际星体问题大多数为二体问题，实际应用时，人们把开普勒定律看成是牛顿定律和万有引力定律的表现形式。(M为中心天体质量，m为行星质量)

在

时，可以认为

，这就是开普勒定律的第三表达式，其中

为开普勒常数。[2]

由此可见，开普勒定律只是一个近似定律。

通过开普勒第三定律，在天体运行中有以下应用：

通过测出形体的绕转周期以及半长轴，算出双星的质量及估计中心天体的质量；

通过两绕同一中心天体运动的行星的公转周期，算出这两行星分别到中心天体的平均距离。（因实际轨道为椭圆形，故采用平均距离）。[13]

在星—箭分离问题中，通过星箭椭圆运动周期之比，计算星箭运动轨迹半长轴之比。

二体问题是天体力学中的一个基本问题，它是指可视为质点的两个天体在相互间唯一的万有引力作用下的运动规律问题。二体问题可以用牛顿万有引力定律和牛顿运动定律来描述并得到完全解决。开普勒三定律是二体问题的解。

开普勒轨道这个名词时开普勒以后的人提出来的，并把开普勒轨道扩展到二体问题的解。由于航天器的轨道运动也符合开普勒三定律，因此开普勒轨道同样适用于航天器。

开普勒轨道的定义：

符合开普勒三定律的天体或航天器的运行轨道；

由二体问题的解的道德天体或航天器的运行轨道。

由定义可知，开普勒的轨道也称为二体问题轨道，符合上述定义的开普勒轨道也称为理想的开普勒轨道。航天器的开普勒轨道可由如下二体问题的基本方程解得：

上述方程描述在惯性坐标系中航天器相对于天体的轨道运动，式中的

是从天体（质量记为

）到航天器（

）的位置矢量，

是二体系统的引力常数，G是万有引力常数。由于

，可以只考虑

对

的引力，这种情况可把航天器开普勒轨道看成是限制性二体问题的解，即看成是在惯性固体天体中心引力场中的运动（有心力运动）轨迹。

开普勒第三定律也适用于部分电荷在点电场中运动的情况。因为库仑力与万有引力均遵循“平方反比”规律，通过类比可知，带电粒子在电场中的椭圆运动也遵循开普勒第三定律。[14][15]

先构造一个匀速圆周运动的模型，根据牛顿第二运动定律和库仑定律计算圆周运动周期，再将粒子由静止开始的直线加速运动当做一个无限“扁”的椭圆运动，用开普勒第三定律计算粒子运动时间。