教学研讨｜5.2 三角函数的概念（3课时，单元教学设计 2019版新教材）

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到部分教师未有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

1.内容

三角函数的概念；三角函数的基本性质：三角函数值的符号、诱导公式一、同角三角函数的基本关系．

本单元的知识结构：

本单元建议用3课时：第一课时，三角函数的概念；第二课时，三角函数的基本性质；第三课时，概念和性质的简单应用．

2.内容解析

三角函数是一类最典型的周期函数，是解决实际问题的重要工具，是学习数学和物理、天文等其他学科的重要基础．

传统上，人们习惯把三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点的坐标比定义三角函数．由于这一定义方法出自欧拉，因此更显出它的权威性．然而，锐角三角函数的研究对象是三角形，是三角形中边与角的定量关系（三角比）的反映；而任意角三角函数的现实背景是周期变化现象，是“周而复始”变化规律的数学刻画．如果以锐角三角函数为基础进行推广，那么三角函数概念发生发展过程的完整性将受到破坏．因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其他基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景，构建从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的图象、性质再到实际应用的过程，与锐角三角函数的联系可以在给出任意角三角函数定义后再进行考察．

一般地，概念的形成应按“事实—概念”的路径，即学生要经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的过程．本单元的学习中，学生在经历这个过程而形成三角函数概念的同时，“顺便”就可得到值域、函数值的符号、诱导公式一及同角三角函数的基本关系等性质．

根据上述分析，确定本单元的教学重点是：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，诱导公式一，同角三角函数的基本关系．其中，正弦函数、余弦函数的定义是重中之重．

二、目标和目标解析

1.目标

（1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；

（2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养；

（3）掌握三角函数值的符号；

（4）掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性；

（5）理解同角三角函数的基本关系式：

，体会三角函数的内在联系性，通过运用基本关系式进行三角恒等变换，发展数学运算素养．

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）学生能像了解线性函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的现实背景那样，知道三角函数是刻画现实世界中“周而复始”变化规律的数学工具，能体会到匀速圆周运动在“周而复始”变化现象中的代表性．

（2）学生在经历“周期现象—圆周运动—单位圆上点的旋转运动”的抽象活动中，明确研究的问题（单位圆⊙O上的点P以A为起点作旋转运动，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况），使研究对象简单化、本质化；学生能分析单位圆上点的旋转中涉及的量及其相互关系，获得对应关系并抽象出三角函数概念；能根据定义求给定角的三角函数值．

（3）学生能根据定义得出三角函数在各象限取值的符号规律．

（4）学生能根据定义，结合终边相同的角的表示，得出诱导公式一，并能据此描述三角函数周而复始的取值规律，求某些角（特殊角）的三角函数值．

（5）学生能利用定义以及单位圆上点的横、纵坐标之间的关系，发现并提出“同角三角函数的基本关系”，并能用于三角恒等变换．

三、教学问题诊断分析

三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念以及对幂函数、指数函数和对数函数的研究经验，另外还有圆的有关知识．这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系、认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用．然而，前面学习的基本初等函数对数函数教案下载，涉及的量（常量与变量）较少，解析式都有明确的运算含义，而三角函数中，影响单位圆上点的坐标变化的因素较多，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“α与x，y直接对应”，无须计算．虽然α，x，y都是实数，但实际上是“几何元素间的对应”．所以，三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，由此产生第一个学习难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解．

为了破除学生在“对应关系”认识上的定势，帮助他们搞清三角函数的“三要素”，应该根据一般函数概念引导下的“下位学习”的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程对数函数教案下载，然后再下定义，这样不仅使三角函数定义的引入更自然，而且由三角函数对应关系的独特性，可以使学生再一次认识函数的本质．具体的，可让学生先完成“给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点坐标”的任务．例如“当时，找出相应点P的坐标”并让学生明确点P的坐标的唯一确定性，再借助信息技术，让学生观察任意给定一个角α∈R，它的终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础．利用信息技术，可以很容易地建立单位圆上点的横坐标、纵坐标、角、弧之间的联系，并且可以在角的变化过程中进行观察，发现其中的规律性．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．

对于定义“设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y= sinα；x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x= cosα”，可以通过如下几点帮助学生理解：

第一，α是一个任意角，同时也是一个实数（弧度数），所以“设α是一个任意角”的意义实际上是“对于R中的任意一个数”；

第二，“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”，实际上给出了两个对应关系，即

（1）实数α（弧度）对应于点P的纵坐标y，

（2）实数α（弧度）对应于点P的横坐标x，

其中y，x∈[－1，1]．因为对于R中的任意一个数α，它的终边唯一确定，所以交点P(x，y)也唯一确定，也就是纵坐标y和横坐标x都由α唯一确定，所以对应关系（1）（2）分别确定了一个函数，这是理解三角函数定义的关键．

第三，引进符号sinα，cosα分别表示“α的终边与单位圆交点的纵坐标”、“α的终边与单位圆交点的横坐标”，于是：对于任意一个实数α，按对应关系（1），在集合B={z|－1≤z≤1}中都有唯一确定的数sinα与之对应；按对应关系（2），在集合B中都有唯一确定的数cosα与之对应．所以，sinα，cosα都是一个由α所唯一确定的实数．

这里，对符号sinα，cosα和tanα的认识是第二个难点．可以通过类比引进符号logab表示ax=b中的x，说明引进这些符号的意义．

本单元的第三个学习难点是对三角函数内在联系性的认识．出现这个难点的主要原因在于三角函数联系方式的特殊性，学生在已有的基本初等函数学习中没有这种经验，以及学生从联系的观点看问题的经验不足，对“如何发现函数的性质”的认识不充分等而导致的发现和提出性质的能力不强．为此，教学中应在思想方法上加强引导。例如，可以通过问题：“对于给定的角α，点P（cosα，sinα）是α的终边与单位圆的交点，而tanα则是点P的纵坐标与横坐标之比，因此这三个函数之间一定有内在联系．你能从定义出发，研究一下它们有怎样的联系吗？”引导学生探究同角三角函数基本关系。

更多：

四、单元教学安排

第一课时5.2.1 三角函数的概念

（一）课时教学内容

三角函数的概念．

（二）课时教学目标

经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养．

（三）教学重点与难点

重点：三角函数的定义．

难点：对三角函数概念的抽象过程及定义的理解．

（四）学科核心素养

1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；

2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；

3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；

4.数学运算：诱导公式一的运用

第二课时5.2.2 同角三角函数的基本关系

（一）课时教学内容

三角函数值的符号；诱导公式一；同角基本关系式．

（二）课时教学目标

（1）掌握三角函数值的符号；

（2）掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性；

（3）理解同角三角函数的基本关系式：sin2x + cos2x = 1，

，体会三角函数的内在联系性．

（三）教学重点与难点

重点：诱导公式一和同角基本关系式．

难点：通过诱导公式一和同角基本关系式，体会三角函数的周期性与三角函数的内在联系性．

（四）学科核心素养

1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；

2.逻辑推理：“sinx+-cosx”同“sinxcosx”间的关系；

3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明

第三课时5.2.3三角函数概念和基本性质的简单应用

（一）课时教学内容

三角函数概念和基本性质的简单应用．

（二）课时教学目标

通过对三角函数概念和基本性质的实际应用，加强对三角函数概念和基本性质的理解，发展数学运算素养．

（三）教学重点与难点

重点：运用基本关系式进行三角恒等变换．

难点：灵活运用三角函数的基本性质进行三角恒等变换．

五、单元教学重点、难点

重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，诱导公式一，同角三角函数的基本关系．其中，正弦函数、余弦函数的定义是重中之重．

难点：对三角函数内在联系性的认识

六、教学过程：见《研讨素材二》

研讨素材二

第1课时

第2课时

第3课时

研讨素材三