以1/s缩放传递函数实现滤波器低通到高通转换

关于极点

受原点零值的影响，其直流响应并不平坦，而是n ×(20 dB/十倍频程)的上升响应，其中n为极点数。在转折频率条件下转换滤波器，受极点影响，上述上升响应会增加n × (–20 dB/十倍频程)的响应。结果是，在转折频率以外，会呈现平坦的响应。

以1/s缩放传递函数，可将低通原型转换成高通滤波器。

实际上，这通常相当于将电容变成值为1/C的电感，而对于无源设计，则相当于将电感变成值为1/L的电容。对于有源设计，电阻变成值为1/R的电容，而电容则变成值为1/C的电阻。这仅适用于频率设置电阻，不适用于增益设置电阻(即并非适用于电路中的每个电阻或电容)。

一种转换算法

考察转换的另一种方式是研究s平面的转换。低通原型的复数极点对由一个实部α和一个虚部β构成。归一化高通极点通过以下公式算出

以及

这样，一个简单的极点α0转换成

低通零点(ωZ,LP)通过以下公式转换

此外，原点处将增加与极点数量相等的零点。

在将归一化低通原型极点和零点转换成高通之后转换滤波器，接着以与低通相同的方式(即以频率和阻抗)进行反向归一化处理。

作为例子，此处转换的是一个1 kHz、3极点、0.5 dB切比雪夫滤波器。选择切比雪夫滤波器的原因在于，如果响应不正确，它可以更清楚地显示出来；这种情况下，巴特沃兹则可能过于宽松。选择3极点滤波器是为了分别转换一个极点对和单个极点。

极点位置

低通原型的极点位置来自设计表。

表1

第一级为极点对，第二级为单极点。请注意，用α表示两个完全不同的参数的做法是不可取的。左侧的α和β为复平面上的极点位置。这些是转换算法中使用的值。右侧的α为1/Q，这正是物理滤波器设计等式所希望看到的。转换结果将产生如表2所示结果。

表2

这里需要提醒一下，由于描述切比雪夫滤波器的一种习惯做法(即此处所用做法)是引用误差带的末端而非3 dB频率，因此，F0必须除以(高通)纹波带与3 dB带宽的比值。

用Sallen-Key高通拓扑结构来构建滤波器，原理图见图1。

图1. 高通转换

图2所示为低通原型和高通转换的响应。请注意，它们在1 kHz截止频率左右是对称的。还应注意，0.5 dB误差带位于1 kHz，而不是−3 dB点，这是切比雪夫滤波器的一个特征。响应的对称性验证了转换的精度。

图2. 低通和高通响应

从低通到高通滤波器的转换，上述算法你get到了么？

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