对数函数教案下载(奇妙对数表的构建(二)：一个和现代对数表相似的方式)

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审稿人：努尔

还记得自然对数吗？它与数学中最美丽的常数有关，即：

实数 x 的对数 lnx 是使 e 成为 x 的指数的指数对数函数教案下载，即：

今天我们使用计算器或计算机来计算对数，但很久以前人们使用对数表来计算 lnx。

约翰·纳皮尔的肖像（1550-1617)，日期为 1616.

1614 年，数学家、物理学家和天文学家约翰·纳皮尔在一篇名为“奇妙对数表的构造”的文章中以与现代对数表类似的方式发表了一系列对数表。令人惊讶的是，尽管纳皮尔从未听说过数字 e 或考虑过指数函数（当时确实没有人知道），但他定义了一个非常相似的以 e 为底的对数。

在那个年代，有一个问题一直困扰着人们，尤其是天文学家。天文学中的计算需要乘以或除以极大的数字。如果没有计算器的帮助，这些计算是非常困难的。使这些计算变得更容易的一种方法是以指数方式研究这些问题。指数函数计算规则告诉我们，两个2的指数相乘，比如2a×2b，只需要将它们的指数相加即可。如果你用一个除以另一个，你只需要减去它们的指数。

所以你需要一个表格，告诉你如何用 2 的指数函数或其他数字的指数函数来表达一个大数，这将使你的计算变得容易得多。给定一个数字 N，你会想要找到一个数字 L，这样：

也就是说，您需要的是一张以 2 或其他数字为底的对数表。

然而，在纳皮尔时代，人们并没有考虑指数函数。他们没有底的概念，也没有写指数函数的简单方法（在数字的右上角放一个小数）。

虽然我们从阿基米德时代开始就对以下两个序列感兴趣：

从 2 开始，之后的数字加倍：

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ....

和一系列自然数：

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... 。

第一个数列称为比例数列，后一个数与前一个数之比是常数。

人们意识到等差数列中两个数的乘法（或除法）对应于等差数列中两个数的加法（或减法）。（对我们来说，这正是指数函数的工作原理，等差数列中 2 的指数函数，以及对应等差数列中指数函数的指数。）这似乎提供了一种使乘法更容易的方法。，您可以将等差数列中较难的计算转化为等差数列中较简单的计算。

纳皮尔想制作一个表格来关联算术和算术级数中的数字，所以他写道：“所有的乘法、除法和平方根计算都可以通过最简单的加法、减法和除以 2 来执行。”

正是纳皮尔发现了这两个序列之间如此有趣的关系。想象一个点 P 沿着一条无限直线从 A 移动到 B。但它不是以恒定速度移动，而是越来越慢：一点的速度与点P到B的长度成正比。越靠近B点，速度越小，所以它永远无法到达点B. 如果你每秒测量到 B 点的距离，你得到的数字形成一个递减的比例序列：两个相邻数字的比率相等，但与前面的例子不同，共同比率小于 1。

如何将其与算术级数联系起来？直观地，想象一下P点在每个时间段的位置：x1是P点1秒后的位置，x2是P点2秒后的位置，以此类推。因为 P 的速度逐渐变慢，所以线段 [xi,xi+1] 随着 i 的增加而减小。而且因为 P 永远无法到达 B 点，所以这样的线段数量是无限的。想象一下，将每个线段拉伸相同的长度，仍然让点 P 在一秒钟内穿过线段。这样，B 点将处于无穷远处，且 P 点在每条线段上的平均速度相同对数函数教案下载，则 P 点在 1 秒、2 秒和 3 秒内走过的距离构成一个等差数列。

使用这种直观的推理，纳皮尔设想了第二个点，其中 Q 和 P 从 A 点以相同的速度开始，但 Q 以恒定速度通过 B 点并继续向无穷远移动。在给定的时间点，他将 Q 点经过的距离定义为 P 点经过的距离的对数。这将 P 点经过的距离等差数列连接到 Q 点经过的距离的等差数列。

Napier 将从 A 到 B 的线段的长度非常大，10,000,000=107。他这样做是为了确保准确性，也可能是因为他有一个天才的大脑，可以考虑使用对数来计算大数。他还假设 P 点的初速度为 107。

今天我们可以计算纳皮尔提到的对数。经过一系列计算，我们可以得到：

x 是 P 行进的距离，y 是 Q 行进的距离。

这意味着 y/107 是 x/107 的以 1/e 为底的对数 - 正是 Napier 的建设性定义。但是因为当时还没有发明微积分，所以他在他的表格中只给出了这些对数的近似值，这些对数连接了 x 和 y。

这是一个非常好的近似值，正在整理以获得

如果你熟悉 e 的许多性质，你一定知道对于任何数 x，ex 是以下公式的极限，因为 n 趋于无穷大：

令 x=-1 有

由于 107 非常大，所以

也就是说，纳皮尔对数的底非常接近 1/e。所以，

y/107 非常接近 x/107 的以 1/e 为底的对数。这就是为什么纳皮尔的工作经常被认为是数学史上第一个（尽管以一种更模糊的方式）提出数字 e 的工作。今天，纳皮尔也被认为是自然对数的发明者，尽管他没有听说过 e！