波函数及其统计解释

互补原理（又称：并协原理），是丹麦物理学家玻尔为了解释量子现象的主要特征——波粒二象性而提出的哲学原理,认为微观粒子同时具有波动性与粒子性，而这两个性质是相互排斥的,不能用一种统一的图像去完整的描述量子现象,但波动性与粒子性对于描述量子现象又是缺一不可的,必须把两者结合起来，才能提供对量子现象的完备描述，量子现象必须用这种既互斥又互补的方式来描述。 再者，科学家又用化学的方法，将一切的物体分解之后，得出许多微细的粒子叫做‘分子’，它是由更小的粒子‘原子’构成的波函数的统计解释，因此科学家们得出一个结论，就是一切的物体，最初都由同质或异质的原子（后来又发现在最微小的原子之中，尚有因子、质子、量子）结合而成分子，然后再由分子构成一切的物体。提示：不一样光既不同于宏观观念的粒子也不同于宏观观念的波．2．光在传播过程中有的光是波有的光是粒子这句话正确吗提示：不正确．其原因是没有真正理解光的波粒二象性．事实上光是一种波同时也是一种粒子光具有波粒二象性并不是有的光是波有的光是粒子．1．光电效应说明光具有粒子性光的干涉、衍射等实验现象说明光具有波动性大量实验事实表明光既具有波动性又具有粒子性．光具有波粒二象性但在不同情况下表现不同．在宏观上大量光子传播往往表现为波动性。

对质量为 μ 的非相对论粒子：222 E p p E μ μ =  = 所以 2 12.25 150 h p h E E E λ μ = = ≈ ≈ ， 近似适用于电子，E 的单位是电子伏特（eV）， λ 的单位是埃（Å，即 1010 −m）。数量级：E=150 eV 时，λ =1 Å（晶格常数的量级）。 2. 电子衍射实验 波动性的体现就是衍射、干涉等等。通过观察这些现象还可以测量波长。 戴维逊--革末 (Davisson and Germer, P.R. 30(27) 707)当可变电子束（30-600eV）照射到抛光的镍单晶上，发现在某角度 ϕ (或 π ϕ − )方向有强的反射（即有较多电子被接收），而 ϕ 满足 sin a nh p ϕ = 。 若取 h p λ = ，则上式与 Bragg 光栅衍射公式相同（ sin a n ϕ λ = ）。它证明了电子入射到晶体表面，发生散射，具有波动性而相应波长为 h p λ = 。

提示：不一样光既不同于宏观观念的粒子也不同于宏观观念的波．2．光在传播过程中有的光是波有的光是粒子这句话正确吗提示：不正确．其原因是没有真正理解光的波粒二象性．事实上光是一种波同时也是一种粒子光具有波粒二象性并不是有的光是波有的光是粒子．1．光电效应说明光具有粒子性光的干涉、衍射等实验现象说明光具有波动性大量实验事实表明光既具有波动性又具有粒子性．光具有波粒二象性但在不同情况下表现不同．在宏观上大量光子传播往往表现为波动性。波粒二象性（wave-particle duality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质.波粒二象性是量子力学中的一个重要概念.震动的微粒子的解说——量子论波粒统一性（邓宇等）振动中的弦微粒子的振动+平动＝波动粒子在经典力学中,研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子.前者的典型例子是光,后者则组成了我们常说的“物。光的粒子性表现明显时仍具有波动性因为大量粒子的个别行为呈现出波动规律故正确答案为、d答案：ad题后反思光的波粒二象性应注意的问题光子是能量为hν的微粒表现出粒子性而光子的能量与频率有关体现了波动性所以光子是统一波粒二象性的微粒．2．在不同条件下的表现不同．大量光子表现出波动性个别光子表现出粒子性．光在传播时表现出波动性光和其他物质相互作用时表现出粒子性。

(2). 波函数的统计解释(Born, 1926) 电子双缝干涉实验的例子。 电子的波动性是许多电子在同一实验中显示的统计结果, 或一个电子在多次相同实验中的统计结果。 波函数 ( ) , r t ψ在某点 r的强度 ( )2, r t ψ(绝对值的平方)与在该点找到粒子的几率密度成正比。波函数 本身称为几率振幅。由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观察量(以后讲)。所以波函数完全描写了微观粒子(或一般地说，量子体系)的状态，这种描写在本质上具有统计的特征。 3. 波函数的归一 几率是相对量，所以将波函数乘以一个常数，它仍然描写量子体系的同一个状态。 设 ( ) , r t ϕ ϕ =是某个波函数，按照几率解释，在点 ( ) , r t附近的体积元 d τ 中发现粒子的几率： ( ) ( )2, , dW r t C r t d ϕ τ =  其中 C 是一个正常数，或者说, 粒子的空间几率密度是： ( ) ( ) ( )2, , , w r t dW r t d C r t τ ϕ = =  ， 因此在全空间发现粒子的几率是： W w r t d C r t d = =∞ ∞ ( , ) ( , ) . τ τ Φ2 一种方便的选择是：W = 1，这称为几率的“归一”。

我能行 1．正比例函数y=kx（k为常数，k<0）的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________． 2．若x、y是变量，且函数y=（k+1）xk2是正比例函数，则k=_________． 3．下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） a．y=4x+1 b．y=2x2 c．y=-x d．y=1/x 4．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2的大小关系是（ ） a．y1>y2 b．y1-3 * * 例1、画出下列正比例函数的图象 （1）y=2x （2）y=－2x １、列表。面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景波函数的统计解释，并探索其应用价值．“方程（组）与不等式（组）”、“函数”所涉及到的内容，为实现上述“实际应用”提供了很数学工具，也正因为如此，借助于这样的工具，我们就可以将实际问题“模型化”了．事实上，在“数与代数”学习领域，充满了用来表达各种数学规律的模型，如代数式、方程、函数、不等式等．例如，结合实际问题，讨论绳长短问题（例15）、铁丝总长问题（例17）或调运量问题（例18）等，需要分析实际问题中的数量关系，建立和利用方程（组）或不等式（组）模型。 例4：计算氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内 的几率 解： 根据波函数、几率密度和电子的几率分布等概念的物理意义，得到氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内的几率为： 本题亦可根据径向分布函数概念，直接应用下式计算： 则氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面以外的几率为：1-0.728=0.272 ⑶ r-r图（径向函数图） 下图所示为单电子原子的径向函数图、径向密度函数图和径向分布函数图。

因而符合麦克斯韦—玻尔兹曼统计分布的粒子，当他们处于某一分布 （“某一分布”指这样一种状态：即在能量为 的能级上同时有 个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：。透镜组在相干照明下的分辨原理.是1873年由e.阿贝在显微镜成像中提出来的.在相干照明下,被物体衍射的相干光（见光的干涉）,只有当它被显微镜物镜收集时,才能对成像有贡献.换句话说,像平面上光场分布和像的分辨率由物镜收集多少衍射光来决定.最简单情况是考虑一个振幅透过率周期变化的物体——光栅.讨论光栅在相干平面波照明下的成像问题.相干平面波被光栅衍射后,各衍射级次平面波有各自传播方向,在物镜后焦面上产生光栅的夫琅和费衍射图样,即物镜起了变换透镜作用,后焦面就是频谱面.如图所示,…s-1,s0,s+1…表示衍射图样的各个极大值的位置.根据惠更斯－菲涅耳原理,在焦面上的这些衍射图样可以看成许多相干次波源,每个次波源的强度正比于该点的振幅.因此在像平面 ∑i上成像过程可以看成从这些次波源发出的光波互相干涉的结果,即所谓成像的两次衍射过程.要得到一个逼真的像,所有衍射光都必须参与成像过程,事实上由于物镜的孔径有限,高衍射级次光波（相当于物的高空间频率分量）不能被收集进物镜,因而在物镜后焦面上的空间频谱中也缺少了高频分量,这些损失了的高频分量会使像的细节失真.以光栅为例,零级衍射沿光轴传播,其他衍射级次在零级两侧以各自方向传播,假若物镜只收集零级衍射波,则像平面是均匀照明,原光栅物体的周期结构消失。 例4：计算氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内 的几率 解： 根据波函数、几率密度和电子的几率分布等概念的物理意义，得到氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内的几率为： 本题亦可根据径向分布函数概念，直接应用下式计算： 则氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面以外的几率为：1-0.728=0.272 ⑶ r-r图（径向函数图） 下图所示为单电子原子的径向函数图、径向密度函数图和径向分布函数图。