第四章 角动量守恒定律 基本要求： 1. 明确力矩的物理

第四章 角动量守恒定律 基本要求： 1. 明确力矩的物理涵义， 掌握力矩的一般定义， 并能从力矩的一般定义中得出力对某轴的力矩的表达式； 2. 掌握质点的角动量的物理涵义， 能熟练地推导在一般情况下的质点角动量定理， 以及对轴的角动量定理； 3. 理解角动量守恒定律的物理内容和定律的适用条件， 并能运用这个定律解释有关现象。 §4-1 力矩 一、 力矩的一般意义 1、 引入 对于一个静止的质点来说, 当它受到力的作用时， 将开始运动； 但对于物体的转动而言, 当它受到外力作用时, 可能转动, 也可能不转动, 这决定于此外力是否产生力矩。 外力产生力矩， 物体就转动, 不产生力矩，物体则不转动。 所以, 力矩对物体转动所起的作用, 与力对质点运动所起的作用是类似的。 2、 定义 在一般意义上， 力矩是对某一参考点而言的。如果质点 p 在坐标系 o-xyz 中的位置矢量是 r (见图 4-1), 那么作用于质点的力 f相对于参考点 o 所产生的力矩， 就定义为(4-1) 显然， m 必定垂直于由矢量 r 和 f所决定的平面, m 的指向应由右手定则确定： 右手的四指由 r 的方向经小于 的角转向 f的方向， 伸直的拇指所指的方向就是力矩 m 的方向。

m 的大小等于以 r 和 f为邻边的平行四边形的面积， 即(4-2) 式中是 r 与 f之间的夹角。 在国际单位制中， 力矩的单位是 n  m (牛顿米)。 3、 合力情况 合力对某参考点 o 的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和： 由力矩的定义式(4-1)可以看到, 力矩 m 与质点的位置矢量 r 有关, 也就是与参考点 o 的选取有关。 对于同样的作用力 f, 选择不同的参考点, 力矩m 的大小和方向都会不同。 为了表示力矩 m 是相对于参考点 o 的, 所以一般在画图时总是把力矩 m 画在参考点 o上, 而不是画在质点 p 上, 如图 4-1 所表示的那样。 如果作用于质点上的力 f是多个力的合力, 即 f = f1+ f2 + … + fn , 代入式(4-1)中, 得 = rf1+ rf2+ … + r fn= m1+ m2 + … + mn (4-3)这表示, 合力对某参考点 o 的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和。 二、 力对轴的力矩 1、 引入 我们日常所见到的转动很多是绕某转轴进行的, 如门绕门轴的转动, 风扇叶片绕转轴的转动, 螺帽绕螺杆的转动等。角动量守恒定律条件

预测电流控制以开关的在线优化为出发点，加到开关控制器的输入量是由磁场定向控制系统提供的定子电流矢量分量，这些输入量用来控制复平面里的电流矢量轨迹，使它相对于参考电流矢量保持最小的空间误差。而网球运动中的正手击球动作就是典型的费力杠杆——阻力臂大于动力臂（如图）。

如果知道力矩矢量的大小和它与 z 轴之间的夹角(见图 4-1), 那么力对 z 轴的力矩也可按下式求得 例题： 质量为 1.0 kg 的质点在力 F = (2t  3) i + (3t  2) j 的作用下运动， 其中 t 是时间， 单位为 s， F 的单位是 N， 质点在 t = 0 时位于坐标原点， 且速度等于零。 求此质点在 t = 2.0 s 时所受的相对坐标原点 O 的力矩。 解 由题意， 质点的质量为 m = 1.0 kg， 质点受力为 ， 所以质点的加速度为 . 因为 , 对上式积分可求得质点的速度 , t 时刻质点的位置矢量为 . 质点在 t = 2.0 s 时所受的相对坐标原点 O 的力矩为§4-2 质点角动量守恒定律 一、 角动量 1、 定义 在物体的转动中角动量是一个很重要的物理量, 正像动量在描述质点运动中的情况一样。 为了阐明角动量这个概念, 我们首先讨论一个质量为 m 的质点的情形。 这个质点位于 p 点, 相对于参考点 o 的位置矢量为r, 如图 4-3 所示。 如果质点的速度为 v， 则这个质点相对于参考点 o 的角动量 l 被定义为 l = r  mv(4-5) 这表示, 一个质点相对于参考点 o 的角动量等于质点的位置矢量与其动量的矢积。