【每日一题】不同函数增长的差异[基础自测]

这是高中数学老师A版（2019)必修卷14.4对数函数教学设计，共10页。

4.4.3 不同功能增长的差异

【基本自测】

1、函数y=ex的图像和函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称，则()

A. f(x)=lg x B. f(x)=lg2x

C. f(x)=ln x D. f(x)=xe

分析：容易知道y=f(x)是y=ex的反函数，所以f(x)=ln x。

答案：C

2.若lg3a<0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))b>1，则()

A. a>1, b>0 B. 0<a<1, b>0

C. a>1, b<0 D. 0＜a＜1, b＜0

分析：由函数y=lg3x的图像可知，y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x, 0 ＜a＜1，b＜0.

答案：D

3.以下函数中，随着x的增加，增长最快的是()

A. y=3x B. y=103x

C.y=lg2x D.y=x3

分析：指数函数模型增长速度最快，故选A。

答案：A

4. 函数f(x)=lg3(4x－x2)的递增区间为________。

分析：0<x<4 from 4x－x2>0,

函数 y=lg3(4x－x2) 的定义域为 (0,4).

令u=4x－x2=－(x－2)2＋4,

当 x∈(0,2], u=4x－x2 为增函数时，

当x∈(2,4]时，u=4x-x2是一个递减函数。

∵y=lg3u 是一个递增函数，

∴函数y=lg3(4x－x2)的递增区间为(0,2)。

答案：(0,2]

题型一大小比较【教材P133例3】

例1 比较以下问题中两个值的大小：

(1)lg23.4, lg28.5;

(2)lg0.31.8, lg0.32.7;

(3)lga5.1, lga5.9(a>0, and a≠1).

【解析】（1)lg23.4和lg28.5可以看作是函数y=lg2x的两个函数值。因为底数2>1，对数函数y=lg2x是增加函数，而3.4＜8.5，所以lg23.4＜lg28.5.

（2)lg0.31.8 和 lg0.32.7 可以看作是函数 y=lg0. 的两个函数3x值，因为底是0.3<1，所以对数函数y=lg0.3x是递减函数，而1.8<2.7，所以lg 0.31.8＞

（3)lga5.1 和 lga5.9 可以看作是函数 y=lgax 的两个函数值。对数函数的单调性取决于底 a 是否为大于 1 或小于 1. ，所以我们需要讨论基数 a。

当a>1时，由于函数y=lgax是一个递增函数，而5.1<5.9，所以lga5.1<lga5.9；

当0<a<1时，由于函数y=lgax是递减函数，而5.1<5.9，所以lga5.1>lga5.9.

构造一个对数函数，利用函数的单调性来比较大小。

教材反思

比较对数值时常用的三种方法

跟踪训练1（1)设置a=lg2π，b=lgπ，c=π-2，然后（）

A. a>b>c B. b>a>c

C.a>c>b D.c>b>a

（2)比较以下值：

①lg0.5, lg0.6. ②lg1.51.6,

③lg0.57、lg0.67. ④lg3π、lg20.8.

【解析】(1)a=lg2π>1, b=lgπ<0, c=π－2∈(0,1), 所以a>c>b.

（2)①因为函数y=lgx是一个递减函数，而0.5＜0.6，所以lg0.5＞lg0.6.

②由于函数 y=lg1.5x 是递增函数，且 1.6＞1.4，所以 lg1.51.6＞

③因为0＞lg70.6＞lg70.5，所以eq \f(1,lg70.6)<eq \f(1,lg70. 5)，即lg0.67<lg0.57.

④因为lg3π>lg31=0，lg20.8<lg21=0，所以lg3π>lg20.8.

[答案] (1)C

(2)①lg0.5＞lg0.6.②lg1.51.6＞

③lg0.67<lg0.57.④lg3π＞lg20.8.

eq \x(The number of one essay) (1) 选择中间数量 0 和 1，比较大小。

(2)①②③利用对数函数的单调性来比较大小。

④ 用中间数量0比较大小。

问题类型二解对数不等式

例2（1)已知lg0.72x<lg0.7(x－1)，则x的取值范围为________；

(2)知道lga(x－1)≥lga(3－x)(a＞0对数函数教案下载，且a≠1)，求x的取值范围。

【解析】（1)∵函数y=lg0.7x是(0, +∞)上的递减函数，

∴从lg0.72x<lg0.7(x－1)得到eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(2x＞0, ,x-1>0, ,2x>x-1, )) 求解到 x>1，

即 x 的取值范围为 (1, +∞)。

(2)lga(x－1)≥lga(3－x),

当 a>1 时，有 eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(x-1>0,,3-x>0,,x-1≥3-x,) ) 解为 2≤x＜3.

当0＜a＜1时，有eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(x－1＞0,,3－x＞0,,x－1≤3－x ,)) 解为 1<x≤2.

总之，

当a>1时，不等式lga(x－1)≥lga(3－x)中x的取值范围为[2,3);

当0<a<1时，不等式lga(x－1)≥lga(3-x)(a>0 and a≠1))中x的取值范围为(1,2)。

[答案] (1)(1，＋∞) (2) 答案见分析

eq \x(第一篇作文) (1)利用函数y=lg0.7x的单调性。

(2)讨论分为a>1和0<a<1两种情况，求解不等式。

方法归纳

两种对数不等式的解

（1) lgaf(x)<lgag(x) 形式的不等式。

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；

②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x)。

(2)lgaf(x)<b形式的不等式可以转化为lgaf(x)<b=lgaab。

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；

②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab。

跟踪训练2（1)满足不等式lg3x<1的x的值集是________；

（2)根据以下公式确定实数a的取值范围：

①lg1.5(2a)＞lg1.5(a－1);

②lg0.5(a＋1)＞lg0.5(3-a)。

分析：（1) 因为lg3x<1=lg33，

所以x满足的条件是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0,,lg3x＜lg33,))

即 0<x<3. 所以 x 的值集是 {x|0<x<3}。

(2)①函数 y=lg1.5x 是 (0, +∞) 上的增函数。

因为lg1.5(2a)＞lg1.5(a－1)，所以eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(2a) ＞a－1,,a－1＞0, )) 求解a＞1，

即实数a的取值范围为a>1.

②函数 y=lg0.5x 是 (0, +∞) 上的递减函数，因为 lg0.5(a＋1)>lg0.5(3－a ) ),

所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1＞0,,3-a＞0,,a＋1＜3-a,)) 求解－1＜a＜1.表示实数a的取值范围为-1＜a＜1.

答案：(1){x|0＜x＜3} (2)①(1,＋∞) ②(－1,1)

(1)lg33=1.

(2) 由对数函数的单调性解决。

题型三对数函数性质的综合应用

例3 已知函数f(x)=lga(1+x)+lga(3-x) (a>0 and a≠1)。

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)如果函数f(x)的最小值是-2，求实数a的值。

【解析】(1) eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(1＋x＞0,,3－x＞0,))

解是-1<x<3对数函数教案下载，所以函数f(x)的定义域是(-1,3).

(2)因为f(x)=lga[(1＋x)(3－x)]

＝lga(－x2＋2x＋3)

=lga[－(x－1)2＋4],

若0<a<1，当x=1时，f(x)的最小值为lga4，

所以 lga4=-2, a-2=4,

并且 0＜a＜1，所以 a=eq \f(1,2).

如果a>1，当x=1时，f(x)有最大值lga4，f(x)没有最小值。

综上所述，a=eq \f(1,2).

真实数字大于0.

分为两种讨论：0＜a＜1，a＞1。

方法归纳

1.解决y=lgaf(x)类型或y=f(lgax)类型函数需要注意的问题

①注意变量的取值范围。比如f(x)=lg2x，g(x)=x2+x，那么f(g(x))=lg2(x2+x)就需要g(x)>0；g(f(x))=(lg2x)2+lg2x 需要x＞0.

②判断y=lgaf(x)型或y=f(lgax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，然后用奇偶性来定义判断。

2. y=lgaf(x)形式的函数的单调性判断

首先，确保 f(x)>0，

当a>1时，在f(x)>0的前提下，y=lgaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性一致。

当0<a<1时，在f(x)>0的前提下，y=lgaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反。

跟踪训练 3 已知函数 f(x)=lg2(1＋x2).

证明：(1)函数f(x)是偶函数；

(2)函数 f(x) 是区间 (0, +∞) 内的递增函数。

证明：（1)函数f(x)的定义域为R，

f(-x)=lg2[1＋(-x)2]

=lg2(1＋x2)=f(x),

所以函数 f(x) 是一个偶函数。

(2)设置 0<x1<x2,

然后 f(x1)－f(x2)=lg2(1＋xeq \\al(2,1))－lg2(1＋xeq \\al(2,2)) =lg2eq \f(1＋x\\al(2,1),1＋x\\al(2,2)),

由于 0<x1<x2，则 0<xeq \\al(2,1)<xeq \\al(2,2),

然后 0<1＋xeq \\al(2,1)<1＋xeq \\al(2,2),

所以 0<eq \f(1＋x\\al(2,1),1＋x\\al(2,2))<1.

并且函数 y=lg2x 是 (0, +∞) 上的递增函数，

所以lg2eq \f(1＋x\\al(2,1),1＋x\\al(2,2))<0.

所以 f(x1)<f(x2).

因此，函数 f(x) 是区间 (0, +∞) 中的增函数。

(1)函数是偶函数，

f(-x)=f(x)。

(2) 用定义方法证明函数是递增函数。

四种题型功能模型的增长差异

例4（1)以下函数中，增长最快的是（）

A. y=2 018x B. y=x2 018

C.y=lg2 018x D．y=2 018x

（2)四个自变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如表所示：

那么 x 呈指数变化的变量是________。

【解析】（1) 比较幂函数、指数函数、对数函数、线性函数，可以看出指数函数的增长速度最快。

（2) 指数增长的变量呈指数变化。从表中可以看出，四个变量y1、y2、y3、y4都从2开始变化，而且都越来越大，但是增长rate不同，其中变量y2的增长速度最快，画出他们的图（图略），可以看出变量y2相对于x呈指数变化。

[答案] (1)A (2)y2

eq \x(第一篇作文) (1)从题中看，指数函数增长速度最快。

(2) 观察变量y1,y2,y3,y4的变化→eq\x(找出增长速度最快的变量)→eq\x(变量相对于x呈指数变化)

跟踪训练4 分析指数函数y=2x和对数函数y=lg2x在区间[1,+∞)内的增长。

分析：指数函数y=2x，当x从x1=1增加到x2=3时，x2-x1=2，y2-y1=23-21=6；

对数函数y = lg2x，当x从x1 = 1增加到x2 = 3时，x2-x1 = 2，y2-y1 = lg23-lg21≈1.585 0.