【期中复习】4.4对数函数及其性质，值得收藏！

4.4 对数函数及其性质 一．教学目标 1．知识技能 ①对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质规律. ②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决难题. 2．过程与技巧 让学生借助观察对数函数的图像，发现并推论对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观 ①培养教师数形结合的观念并且预测推理的素养； ②培养教师严谨的科学态度. 二．学法与教学用具 1．学法：通过使教师观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学方法：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点 1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像跟性质. 2、难点：底数 a 对图像的妨碍及对数函数性质的功用. 四．教学过程 1．知识解读 回顾上一节所讲的对数函数以及大学所学的作图的技巧方法。 2．探索新知 一般地，我们把方程 y loga x （ a ＞0 且 a ≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定 义域是（0，+∞）． 提问：（1）．在函数的定义中，为什么应限定 a ＞0 且 a ≠1． （2）．为什么对数函数 y loga x（ a ＞0 且 a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分探讨、 交流，使学生非常理解对数函数的涵义，从而加深对对数函数的理解. 答：①根据对数与指数式的关系，知 y loga x 可化为 ay x ，由指数的概念，要让 ay x 有 意义，必须要求 a ＞0 且 a ≠1． ② 因 为 y loga x 可 化为 x ay ， 不 管 y 取 什 么 值， 由指 数 函数 的性 质 ， a y ＞ 0 ，所 以 x (0, ) ． 下面我们来探究函数的图像，并借助图象来探究函数的性质： 先完成 P132 表 4.4-1，并按照此表用描点法或用电脑画出变量 y log2x 的图像, 再运用电脑软 件画出 y log0.5x 的图像. x 1 1 2 4 6 8 12 16 2 y －1 0 1 2 2.58 3 3.58 4 注意到：y log1 x log 2 x ，若点 (x, y)在y log2 x 的图像上，则点 (x, y)在y log1 x 的 2 2 图象上. 由于（ x, y ）与（ x, y ）关于 x 轴对称，因此， y log 1 x 的图象与 y log2 x 的图像 2 关于 x 轴对称 . 所以，由此我们可以画出 y log 1 x 的图象 . 2 先由学生自己画出 y log 1 x 的图像，再由手机硬件画出 y log2 x 与 y log 1 x 的图象 . 2 2 探究：选取底数 a(a ＞0，且 a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内做出相应的对数函 数的图像．观察图象，你可看到他们有什么特点吗？ 提问：通过变量的图像，你能写出底数与变量图象的关系吗？函数的图像有何特征，性质既如 何？ 先由师生讨论、交流，教师鼓励总结出函数的性质. (投影) 图象的特点 函数的性质 （1）图象都在 y 轴的后面 （2）函数图象都经过（1，0）点 （1）定义域是（0，+∞） （2）1 的对数是 0 （3）从左往右看，当 a ＞1 时，图象逐渐 （3）当 a ＞1 时， y log x a 是增函数，当 上升，当 0＜ a ＜1 时，图象逐渐增加 . 0＜ a ＜1 时， y loga x 是减函数. （4）当 a ＞1 时，函数图象在（1，0）点 右边的纵坐标都小于 0，在（1，0）点左 边的纵坐标都大于 0. 当 0＜ a ＜1 时，图 （4）当 a ＞1 时 x ＞1，则 loga x ＞0 象正好相反，在（1，0）点后面的纵坐标 都大于 0，在（1，0）点右边的纵坐标都 大于 0 . 0＜ x ＜1， loga x ＜0 当 0＜ a ＜1 时 x ＞1，则 loga x ＜0 0＜ x ＜1， loga x ＜0 由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数变量性质完成，教师适当启发、引 导）： a ＞1 0＜ a ＜1 图 象 （1）定义域（0，+∞）； 性 （2）值域 R； 质 （3）过点（1对数函数教案下载，0），即当 x =1， y =0； （4）在（0，+∞）上是增函数 例题训练： 在（0，+∞）是上减函数 1. 比较下列各组数中的两个值大小 (1) log2 3.4,log2 8.5 (2) log0.31.8, log0.3 2.7 (3) loga 5.1, loga 5.9(a 0, a 1) (4) log2 3, log0.5 4 分析：由数形结合的方式或借助函数的单调性来完成： (1) 底数2 1,函数y log x 2 在（0， ）单调递增， log2 3.4 log2 8.5 （2）第（2）小题类似 （3）注：底数是系数，但应分类讨论 a 的范围，再由方程单调性判断大小. 解法 1：当 a ＞1 时， y loga x 在（0，＋∞）上是增函数对数函数教案下载，且 5.1＜5.9. 所以， loga 5.1 loga 5.9 当 a 1 时， y loga x 在（0，＋∞）上是减函数，且 5.1＜5.9. 所以， loga 5.1 loga 5.9 解法 2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令 b1 loga 5.1,则ab1 5.1, 令 b2 loga 5.9,则ab2 5.9, 则 则ab2 5.9 当 a ＞1 时， y ax 在 R 上是增函数，且 5.1＜5.9 所以， b1 ＜ b2 ，即 loga 5.1 ＜ loga 5.9 当 0＜ a ＜1 时， y ax 在 R 上是减函数，且 5.1＞5.9 所以， b1 ＜ b2 ，即 loga 5.1 ＞ loga 5.9 课堂练习：p131 练