对数与对数函数教学目标：掌握对数运算（高考要求）

对数与对数函数 教学目标：掌握对数运算（高考要求A）及对数函数的有关概念（高考要求B）. 教学重难点：熟悉对数的运算，掌握对数函数图像性质以及应用。 教学过程： 一 . 知识技巧： 1. 对数概念（1）对数的定义：如果 anb a 0,a 1 ，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记 做 loga N b a 0,a 1 ，由定义知负数和 0 没有对数。 通常以 10 为底的对数叫做 常用对数， 记做 lg Nlog10 N 。以无理数 e＝2.71828 …为底的对数叫做自然对数。 记做 ln N log e N 。（2）对数的运算性质：Mlog a MN log a M log a N , log a log a M log a N .Nnn nlog a M n ? log a M , log m b log a b, M , N , a, b, n, m 0, a 1am（3）对数的恒等式：log Nlog N log alog 1 0, log a 1, a a N,a b N baalogb N1log N, log b, log b?log c log c, a,b,c, N 0,a,b 1aaabalog alog abb 2. 对数函数： （1）. 定义：形如 y=log ax (a>0,a ≠1) 的变量叫做对数函数。

（2）. 对数函数的图像与性质：a>101 时 loga x 0 x 100,a ≠1) 与指数函数 y=a(a>0,a ≠1) 互为反函数， 它 们的定义域与函数恰好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于y=x 对称。（3 ）. 对数有关的大小相当的基本模式：1）利用变量的单调性， 2 ）作差或 作商法， 3）利用中间量。 4 ）化同底或化同指数。 5）放缩法。 二 . 基础练习： 1. 若 x ∈(e -1 ,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x, 则 b ＜a＜ca b1 1 2. 已知 3 =5 =A,且=2，则 A 的值是15a b1 3. 已知 log 7［log 3(log 2x) ］=0，那么 x2 等于241111log b loglog 2. 已知 0＜a＜1,b ＞1,ab ＞1，则 log a, loga b,log b 的大小关系是ababbbb 3. 函数 f（x ）= 1 ln （ x2 3x 2x2 3x 4 ）的定义域为［-4 ，0 ）∪ （0 ，1）x2 xx2 4. 设 f(x)=lg, 则 f ( ) f ( ) 的定义域为(-4,-1)∪(1,4)2 x2x2 5. 函数 y=lg(x+2x+m)的值域是 R,则 m的取值范围是m ≤1x 6. 已知函数 f(2）的定义域是［ -1 ，1］，求 f(log2x) 的定义域 .x1x 解∵ y=f(2) 的定义域是［ -1 ，1］，即-1 ≤x ≤1, ∴≤2 ≤2.21∴函数 y=f(log2x) 中 ≤log 2x ≤2. 即 log 22 ≤log 2x ≤log 24, ∴ 2≤x ≤4.2 故变量 f(log2x) 的定义域为［2 ，4］ 三 . 例题精讲： 题型 1：对数运算 .2 例 1计算： （1）log23 (2 3 ) （2 ）2(lg2 ) +lg 2 ·lg5+(lg 2 )2 lg 2 1 ;1 32 4 （3）lg- lg 8 +lg245 .249 3解（1）方法一利用对数定义方程设 log2 3 ( 2 3) =x,x1-1则(2+3 ) =2- 3 == （2+ 3 ） , ∴x=-1.2 31-1方法二利用对数的运算性质求解log2 3 (2 3) = log2 3=log 2 3 (2+ 3 ) =-1.2 3（2 ） 原 式 =lg2 （2lg2 +lg5 ）+(lg 2)2 2 lg 2 1 =lg 2 (lg2+lg5)+|lg2 -1| =lg 2 +(1-lg2 )=1.141 11431（3 ）原式 =（lg32-lg49）- lg8 2 + lg245= (5lg2-2lg7)-× lg 2 +(2lg7+lg5)2322322= 5 lg2-lg7-2lg2+lg7+1 lg5= 1 lg2+ 1 lg5= 1 lg(2 ×5)=1 lg10= 1 .2222222 题型 2 ：对数函数性质及应用 . 例 2比较下列各组数的大小 .（1）log 3 2 与 log 5 6 ;（ 2）log 1.1 0.7 与 log 1.2 0.7;35b a c（3 ）已知 log 1b＜log 1a＜log 1c, 比较 2 ,2 ,2的大小关系 .2222626 解（1）∵log 3＜log 3 1=0,而 log 5＞log 5 1=0, ∴log 3＜log 5.353511(2) 方法一∵0＜0.7 ＜1,1.1 ＜1.2,∴0 ＞log0.7 1.1 log0 .7 1.2 , ∴,log0 .7 1.1 log 0.7 1.2 即由换底公式可得log 1.1 0.7 ＜log 1.2 0.7.方法二作出 y=log 1.1 x 与 y=log 1.2 x 的图像 .如图所示两图像与x=0.7 相交可知 log 1.1 0.7 ＜log 1.2 0.7.(3) ∵y= log 1 x 为减函数，且 log 1b log 1 a log 1 c ,2222xbac∴b＞a ＞c, 而 y=2 是增函数，∴ 2 ＞2 ＞2 . 变式： （2009 全国卷Ⅱ理）设 alog3 , b log2 3, c log3 2 ，则a b c Q log2 log 2 log 3 b clog 3 log 2 log 3 loga b a b c32222332 例 3. 已知变量 f（x ）=log 2 (x -ax-a)在区间（ - ∞,1- 3 ］上是单调递减函数 . 求整数 a 的取值范围 .222解令 g(x)=x-ax-a,则 g(x)=（x- a ） -a-a ,24由以上知 g(x ）的图像关于直线x= a 对称且此抛物线开口向下.2因为变量 f(x)=log2g(x) 的底数 2 ＞1,在区间（ - ∞,1-3 ］上是减函数，2所以 g(x)=x-ax-a在区间（ - ∞,1-3 ］上也有单调减函数，且g(x) ＞0.a1 3a 2 2 3∴2对数函数教案下载，即2(1 3) a(1 3) a 0g (1 3 ) 0解得 2-23 ≤a＜2.故 a 的取值范围是 {a|2-23 ≤a＜2}.x 1222 例 4. 已知变量 f(x)=log+log (x-1)+log(p-x).x 1（1）求 f(x)的定义域；（2）求 f(x)的值域 .x 10 ① ,x 1解（1）f(x)有意义时，有x 1 0 ② ,p x 0 ③ ,由①、②得 x ＞1, 由③得 x ＜p, 因为变量的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定 义域是 (1,p).2p 1 2 ( p 1)（2 ）f(x)=log2 ［(x+1)(p-x)］=log 2 ［- （x-） +］ (1＜x ＜p),2422p 1p 1 2 ( p 1) ( p 1)①当 1＜＜p，即 p＞3 时，0＜-(x-),22442∴log 2(x p 1)2 ( p 1) ≤2log 2(p+1)-2.24②当 p1 ≤1，即 1＜p≤3 时，22p 1 2 ( p 1)2p 1 2 ( p 1)∵0＜-(x-)2( p 1), ∴log 2(x)＜1+log 2 (p-1).2424综合①②可知：当 p＞3 时，f(x)的值域是（ - ∞,2log 2 (p+1)-2］;当 1＜p≤3 时，函数 f(x)的值域是 (- ∞,1+log 2 (p-1)).题型 3：综合应用 .例 5. 已知变量 f(x)=logax(a ＞0,a ≠1) ，如果对于任意 x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|≥1 成立，试求 a 的取值范围 .解当 a ＞1 时，对于任意 x ∈［3 ，+∞），都有 f(x)＞0.所以， |f(x)|=f(x),而 f(x)=logax 在［ 3，+∞）上为增函数，∴对于任意 x ∈［3 ，+∞），有 f(x)≥log a3.，要让 |f(x)|≥1 对于任意 x ∈［3 ，+∞）都成立 .aa只要 log 3≥1=log a 即可，∴ 1＜a≤3.当 0＜a＜1 时，对于 x ∈［3 ，+∞），有 f(x)＜0,∴|f(x)|=-f(x).∵f （x ）=log ax 在［ 3 ，+∞）上为减函数，∴-f （x ）在［3 ，+∞）上为增函数 .∴对于任意 x ∈［3 ，+∞）都有|f(x)|=-f(x)≥-log a3.因此，要让 |f(x)|≥1 对于任意 x ∈［3，+∞）都成立，只111aaa要-log3≥1 成立即可，∴log 3≤-1=log, 即 ≤3, ∴≤a＜1.aa31综上，使 |f(x)|≥1 对任意 x ∈ ［3，+∞）都成立 a 的取值范围是 (1 ，3 ］∪ ［ ，1）.32 例 6. 已知变量 y=log a2(x -2ax-3) 在(- ∞,-2)上是增函数，求a 的取值范围 .解由于(x)=x 2-2ax-3 在 (- ∞,a ］上是减函数，2在 ［a,+∞) 上是增函数，要让 y=log a2(x -2ax-3) 在 (- ∞,-2)上是增函数，2( 2) 0 ,1首先必有 0＜a ＜1,即 0＜a＜1 或-1 ＜a＜0, 且有得 a≥-.a 2 ,4综上，得 - 1 ≤a＜0 或 0＜a＜1.4 例 7. 已知变量 f(x)=loga x b (a ＞0, 且 a≠1，b＞0).x b （1）求 f(x)的定义域；（2 ）讨论 f(x)的奇偶性； （3）讨论 f(x）的单调性 . 解 （1）由 xb ＞0(x+b)(x-b) ＞0. 解得 f(x)的定义域为 （- ∞,-b ）∪(b,+ ∞).x bx bx bx b 1 （2）∵f（-x ）=log a () loga ( ) log a ( )f (x), ∴f （x ）为奇函数 .x bx bx bx b2b （3）令 u （x ）=，则 u(x)=1+. 它在（ - ∞,-b）和(b,+ ∞) 上是减函数 .x bx b∴当 0＜a＜1 时，f(x)在（ - ∞,-b ）和(b,+ ∞) 上是增函数；当 a ＞1 时，f(x)在（ - ∞,-b）和(b,+ ∞) 上是减函数 . 例 8. 设 a,b ∈R，且 a≠2, 定义在区间（ -b,b ）内的函数 f(x)=lg 1 ax 是奇函数 .1 2x（1）求 b 的取值范围；（2 ）讨论函数 f(x)的单调性 .解（1）f(x)=lg1 ax (-b ＜x ＜b) 是奇函数等价于：1 2 xf ( x) f (x) ， ① ,1 ax1 2x对任意 x ∈(-b,b)都有1 ax①式即为 lglg，0，②1 2x1 ax1 2x1 ax 1 2 x2 22由此可得, 也即 a x =4x ,1 2x 1 ax2此式对任意 x ∈(-b,b)都成立相当于a =4, 因为 a≠2, 所以 a=-2 ，代入②式，得 12x ＞0, 即- 1 ＜x ＜ 1 ,1 2x22此式对任意 x ∈(-b,b)都成立相当于 - 1 ≤-b ＜b≤ 1 ,22所以 b 的取值范围是（ 0,1 ］.211 212（2 ）设任意的 x ,x∈(-b,b)，且 x ＜x , 由 b∈（0 ，］，2得- 1 ≤-b ＜x1 ＜x2 ＜b≤ 1 ,222112所以 0＜1-2x ＜1-2x ,0 ＜1+2x ＜1+2x ,1 2x1 2x(1 2x )(1 2x )从而 f(x 2)-f(x1)= lg2 lg1 lg21 lg 1 0.1 2x1 2x(1 2x )(1 2x )2121因此 f(x)在（ -b,b)内是减函数，具有单调性.能力测试题 1. 化简方程 .（1）log 27 +log 2 12- 1 log 242-1;4822（2）(lg2)+lg2 ·lg50+lg25;3948（3）(log2+log 2) ·(log3+log 3).377 1213解 (1)原式 =log 2+log 2 12-log 242 -log 22=log 2log 2log 2 2 2 .4848 42 22 22（2 ）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 3lg 2 5lg 3 5（3 ）原式=() (·)·.lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3 lg 2 2lg 3 6lg 2 41 2 log 221231 2. 计算 (log 33) 3+log 0.25+9log 55 -log3 1=.44 3. 函数 f(x)=| x 2 | 1 的定义域为［3 ，+∞） .log ( x 1)22 4. 函数 f(x)=1g(x 2x) 的定义域为（-3 ，0）或（2 ，3） ；29 x 5. 若变量 y=log a(x+b)(a ＞0, 且 a≠1) 的图象过两点 （-1 ，0）和 （0，1），则 a=2,b=2 6. 设 a ＞1, 函数 f(x)=logax 在区间［ a,2a ］上的最大值与最小值之差为1 ，则 a= 422 7. 函数 y=log 1(x -3x+2) 的递增区间是（- ∞,1 ）2x1 8. 函数 f（x ）=a +log a（x+1 ）在［ 0，1］上的最大值跟最小值之和为a，则 a=2 9. 已知 lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lgx+lgy,则 x2 .yx 10. 若变量 y=lg(4-a·2 ) 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围为 a≤0 三、解答题 11. 已知变量 f(x)=loga (x+1)(a＞1), 若变量 y=g(x) 图象上任意一点P 关于原点对称点 Q 的轨迹恰好是变量f(x) 的图象 .（1）写出函数 g(x) 的解析式；（2 ）当 x ∈［0 ，1）时总有 f(x)+g(x)≥m成立，求 m的取值范围 .解（1）设 P （x ，y ）为 g(x) 图象上任意一点，则 Q （-x对数函数教案下载，-y ）是点 P 关 于原点的对称点，∵Q（-x ，-y ）在 f(x)的图像上，∴-y=log a（-x+1 ），即 y=g(x)=-loga (1-x).x 1（2）f(x)+g(x)≥m,即 log a≥m.1 x设 F （x ）=log a 1x ,x ∈［0 ，1），由题意知，只要 F （x ）min ≥m即可 .1 xmin∵F （x ）在［0，1）上是增函数，∴F （x ）=F （0）=0. 故 m≤0 即为所求 . 12. 已知过原点 O 的一条直线与变量y=log 8x 的图象交于 A、B 两点，