2019-2020学年高中数学第五章曲线运动第5节向心加速度教学案新人教版必修2

2019-2020学年高中数学第五章曲线运动第5节向心加速度教学案新人教版必修2一、 感受圆周运动的向心加速度1．圆周运动必有加速度圆周运动是变速运动加速度教案模板，变速运动必有加速度。2．匀速圆周运动的加速度方向实例地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动光滑桌面上的小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动受力分析地球受太阳的引力，方向指向太阳中心，即为宇宙轨迹的圆心小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向圆心加速度分析由牛顿第二定律知，加速度方向与其合外力方向同样，指向圆心二、向心加速度 1．定义做匀速圆周运动的质点具有的指向圆心的加速度。2．大小(1)an＝3．方向沿直径方向对准圆心，与线速率方向平行。1．自主思考——判一判(1)匀速圆周运动的加速度的方向一直不变。(×)(2)匀速圆周运动是匀变速曲线运动。(×)(3)匀速圆周运动的加速度的大小不变。(√)(4)根据a＝(5)根据a＝ω2r知加速度a与长度r成正比。(×)2．合作研究——议一议如图551所示，小球在拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：图551(1)小球的向心加速度是恒定的吗？其方向必定指向圆心吗？提示：小球的向心加速度方向时刻指向圆心，方向时刻改变，因此，小球的向心加速度不是恒定的。(2)若手握绳子的位置不变，增加小球的转矩，则它的向心加速度大小如何变化？提示：根据a＝ω2r可知，当长度不变时，角速率变大时，加速度a也变大。对向心加速度的理解1．物理含义描述线速率改变的强弱，只表示线速率的方向差异的强弱，不表示其大小差异的长短。2．方向总是沿着圆周运动的直径指向圆心，即方向一直与运动方向平行，方向时刻改变。3．圆周运动的性质不论加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速曲线运动。4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的木块，加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速

度方向变化的强弱，切向加速度表示速率大小差异的强弱。所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心。1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列表述正确的是()A．与线速度方向一直相似B．与线速度方向一直相反C．始终指向圆心D．始终维持不变解析：选C做匀速圆周运动的质点，它的向心加速度始终与线速率垂直且指向圆心，加速度的大小不变，方向时刻变化，所以C正确。2．关于向心加速度的物理含义，下列表述正确的是()A．它表述的是线速率大小差异的强弱B．它表述的是线速率方向差异的强弱C．它叙述的是物体运动的路程变化的长短D．它叙述的是角速率差异的强弱解析：选B向心加速度始终与线速率方向平行，故向心加速度只表示线速率的方向改变的强弱，不表示线速率的大小改变的强弱，A、D错误，B正确；圆周运动中，线速率是表述物体运动路程变化快慢的物理量，C错误。3．关于向心加速度，以下表述中错误的是()A．向心加速度的方向一直与线速率方向平行B．向心加速度只改变线速率的方向，不改变线速率的大小C．物体做圆周运动时的加速度方向一直指向圆心D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向一直指向圆心解析：选C向心加速度的方向沿直径指向圆心，速度方向则沿圆周的垂线方向。所以，向心加速度的方向一直与速率方向平行，只改变线速率的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向一直指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不必定依然指向圆心。故A、B、D正确，C错误。对向心加速度公式的理解跟应用1．公式an＝该定理说明，对于匀速圆周运动，当线速率一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比；当长度一定时，向心加速度的大小与线速率的平方成正比。该公式常用于预测涉及线速率的圆周运动问题或有两个物体做圆周运动且他们的线速度同样的场景。2．公式an＝ω2r该定理表明，对于匀速圆周运动，当角速率一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比；当长度一定时，向心加速度的大小与角速率的平方成正比。该公式常用于预测涉及角速度的圆

周运动问题或有两个物体做圆周运动且他们的角速度相等的场景。3．公式拓展在以上两个公式的基础上，结合描述匀速圆周运动的各物理量之间的关系，可得到下面公式：an＝ωv＝4．向心加速度与长度的关系根据前面的探讨，加速度与长度的关系与物体的运动特性有关。若线速率一定，an与r成反比；若角速率(或周期、转速)一定，an与r成正比。如图552所示。图552[典例]如图553所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和四轮之间无相对滑动，大轮的直径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮宽度的图553[审题指导](1)P跟S在同一轮上，角速度相等，选用an＝ω2r计算向心加速度。(2)P跟Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速率相同加速度教案模板，选用an＝[解析]同一轮子上的S点跟P点的角速度相等，即ωS＝ωP。由向心加速度公式an＝ω2r，得故aS＝又由于皮带不打滑，所以皮带传动的四轮边缘上各点的线速率大小相同，即vP＝vQ，由向心加速度公式an＝得故aQ＝[答案]4 m/s224 m/s2向心加速度公式的应用方法向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的差异关系，必须在某一物理量不变时预测另外两个物理量之间的关系。在非常转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按下列方法进行：(1)先确认各点是线速率大小相等，还是角速度同样。(2)在线速度大小相同时，向心加速度与长度成反比，在角速率相等时，向心加速度与长度成正比。 1.(多选)如图554所示是甲、乙两球做圆周运动的向心加速度随长度差异的关系图像，下列表述中恰当的是()图554A．甲球线速率大小维持不变B．乙球线速率大小维持不变C．甲球角速率大小维持不变D．乙球角速率大小维持不变解析：选AD从图像知，对甲：a与R成反比，由a＝2.一轿车以30 m/s的速度沿长度为60 m的圆形跑道行驶。当车辆从A点运动至B点时，轿车和圆心的连线转过的视角θ＝90°，求：图555(1)此过程中轿车位移的大小。(2)此

过程中汽车运动的路程。(3)轿车运动的向心加速度的大小。解析：(1)轿车的位移为从初位置至末位置的有向线段，其大小为直线的宽度s，s＝(2)路程等于半径，l＝Rθ≈60×(3)向心加速度的大小a＝答案：(1)85 m(2)94.2 m(3)15 m/s21．下列关于匀速圆周运动的性质的表述正确的是()A．匀速运动B．匀加速运动C．加速度不变的曲线运动 D．变加速曲线运动解析：选D匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向一直指向圆心，是函数，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错，D对。2．下列关于物体做匀速圆周运动的表述中，正确的是()A．由a＝B．由a＝ω2r知a与r成正比C．由ω＝D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比解析：选D由a＝3．(多选)一只质量为m的老鹰，以速度v在水平面内做直径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的表述正确的是()A．大小为C．方向在水平面内 D．方向在竖直面内解析：选AC根据an＝4．(多选)一小球被细线拴着做匀速圆周运动，若其轨道长度为R，向心加速度为a，则()A．小球相对于圆心的位移不变B．小球的线速率大小为C．小球在时间t内通过的路程为D．小球做圆周运动的周期为2π解析：选BD做匀速圆周运动的小球，相对于圆心的位移大小不变，但方向时刻在改变，故A错误。由公式a＝5.如图1所示，A、B为力矩传动的两曲轴，rA＝2rB，则A、B两轮边缘上两点的()图1A．角速度之比为2∶1B．向心加速度之比为1∶2C．周期之比为1∶2D．转速之比为2∶1解析：选B根据两轮边缘线速率相同，由v＝ωr，得角速度之比为ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A错误；由an＝6.(多选)如图2所示，一个球绕中心轴线OO′以角速率ω做匀速圆周运动，则()图2A．a、b两点的线速度相等B．a、b两点的角速率相等C．若θ＝30°，则a、b两点的线速率之比va∶vb＝D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速

度之比aa∶ab＝解析：选BCD由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，B正确；由v＝ωr知va

期T＝答案：1.3 m/s211.申雪、赵宏博是我国双人花样滑冰的功臣，曾代表祖国在全球各大赛事中获得了优异的成绩。如图5所示是模拟赵宏博(男)以自己为转动轴拉着申雪(女)做匀速圆周运动，若赵宏博的转速为30 r/min，申雪触地冰鞋的线速度为4.7 m/s。图5(1)求申雪做圆周运动的角速度。(2)求申雪触地冰鞋做圆周运动的半径。(3)若它们手拉手绕他们连线上的某点做匀速圆周运动，已知男、女运动员触地冰鞋的线速度分别为3.6 m/s和4.8 m/s，问男、女运动员做圆周运动的半径之比为多少？解析：(1)n＝30 r/min＝0.5 r/s，角速度ω＝2πn≈3.14 rad/s。(2)设触地冰鞋做圆周运动的半径为r，由v＝ωr得r＝(3)他们各自做如图所示的圆周运动，他们的角速度同样，男运动员做圆周运动的长度为r1，女运动员做圆周运动的长度为r2，则答案：(1)3.14 rad/s(2)1.5 m(3)3∶412.用图6所示的装置可以检测弹簧枪发射炮弹的出口速度。在一根水平轴MN上相隔L安装两个平行的薄圆盘，两圆盘可以绕水平轴MN一起匀速运动。弹簧枪紧贴左盘沿水平方向在水平轴MN的正上方射出一颗子弹，子弹飞过两个薄圆盘，并在圆盘上留下两个小孔A跟B(设子弹穿过B时还没有运动至转轴的下方)。若测得两个小孔距水平轴MN的距离分别为RA和RB，它们所在的长度按转动方向由B至A的夹角为φ(φ为锐角)。求：图6(1)弹簧枪发射炮弹的出口速度；(2)圆盘绕MN轴匀速旋转的角速率；(3)若用一橡皮泥将A孔堵上，则橡皮泥的向心加速度的大小是多少？解析：(1)以子弹为研究对象，在从A运动至B的过程中，由平抛运动的规律可得RA－RB＝联立解得v0＝L(2)子弹从A运动至B所用的时间为t＝在此过程中，设圆盘转动了n圈，则转过的视角为θ＝2nπ＋φ(n＝0,1,2，…)所以圆盘转动的角速度为ω＝(3)橡皮泥的角速度与圆盘转动的角速度相同，所以橡皮泥的向心加速度为a＝ω2RA＝答案：(1)L(2)(2nπ＋φ) (3)