领军一个“三用塞子”的知识解决相应的数学问

中国教育培训领先品牌 中国教育培训领先品牌 中国教育培训领先品牌 签字日期： 签字日期： 签字日期： 等边三角形 等边三角形 等边三角形 理解和掌握等边的定义三角形，理解和掌握等边三角形的定义，理解和掌握等边三角形的定义，探索等边三角形 探索等边三角形 探索等边三角形的性质和确定方法；性质和测定方法；性质和测定方法；能够利用等边三角形的知识解决相应的a5ea136dc9a675c9c89497b285c2e2ae问题 能够利用等边三角形的知识解决相应的数学问题 能够利用等边三角形的知识解决相应的数学问题。在探索等边三角形的性质和确定的过程中，体验知识之间的关系，感受数学与生活的联系。在探索等边三角形的性质和确定的过程中，体验知识之间的关系以及数学与生活的联系。在探索等边三角形的性质和确定的过程中，体验知识之间的关系以及数学与生活的联系。下面三个图是三个鸡眼的形状，它们之间的关系是：圆圈下面的三个数字是三个鸡眼的形状，它们之间的关系是：圆下面的三个数字，是三个孔眼的形状，它们之间的关系是：圆直径直径直径===正方形正方形正方形边长边长边长===等腰三角形等腰三角形等腰三角形高度。

根据需要，现在做一个“三用塞” 根据需要，现在做一个“三用塞” 根据需要，现在做一个“三用塞”，可以用来塞任何孔进去.你能做这个三通塞吗？ ，用它来塞任何可以塞的孔。你能做这个三通塞子吗？ ，用它来塞任何可以塞的孔。你能做这个三通塞子吗？等边三角形的概念 等边三角形的概念 三边相等的三角形称为等边三角形。等边三角形是底边和边相等的等腰三角形。三边相等的三角形称为等边三角形。等边三角形是底边和边相等的等腰三角形。三边相等的三角形称为等边三角形。等边三角形是底边和边相等的等腰三角形。等边三角形的性质 等边三角形的性质 等边三角形的性质 一个角等于所有相等，每个角都等于 606060 中国教育培训领先品牌 中国教育培训领先品牌 中国教育领先品牌和培训(201220122012••• 凉山州) 凉山州) 凉山州) 如图，如图，等边三角形纸，等边三角形纸，等边三角形纸，切角得到一个四边形，切一个角得到一个四边形，切一个角得到一个四边形，如图，图中αα的度数就是度数。通过边长为11的等边等边ABCABCABC的等边等边ABCABCABC是点PP上的点上点上的点，设EE中的PEPEPEACACAC为BBCCBC延长线上的一点，延长线上的一点，以及延长线上的一个点，当PA=CQPA=CQPA=CQ时，即使PQPQPQ越过ACACAC，则DEDEDE不能确定，可以确定（200920092009•••攀枝花）如图所示，在等边攀枝花）为如图，在等边攀枝花）如图所示，在等边ABCABCABC的边上，分别在边上的边ABCBCBC，，，，ABABAB，BD=AEBD=AEBD=AE，，，ADADAD和CECECE相交于点在点 FF 的交点处，则 DFCDFCDFC 的度数为 ( 度数为 ( 度数为 (66600444554440033300 等边三角形 等边三角形 等边三角形是轴对称图形，等边三角形的对称轴与三个对称轴称为中心。

它是一个轴对称图形，一个等边三角形的对称轴与三个对称轴的交点称为中心。它是一个轴对称图形，一个等边三角形的对称轴与三个对称轴的交点称为中心。等边三角形必须围绕中心旋转至少 12012012000 才能与原始三角形重合。 ，可以与原三角形重合。 ，可以与原三角形重合。等边三角形的每一边的等边三角形是等边三角形的每一边的等边三角形的每一边。 ，高和对角的平分线是三线合一。 ，高和对角的平分线是三线合一。等边三角形的判断方法 等边三角形的判断方法 三角形）三个角都相等的三角形是等边三角形）三个角都相等的三角形是等边三角形）一个角的等腰三角形是60606000等腰三角形是等边三角形三角形等腰三角形是等边三角形三角形是等边三角形，特殊三角形，特殊三角形，特殊三角形和特殊三角形。其对边的直角边等于，则其对边的直角边等于等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，则其对边的直角边等于斜边的斜边的一半。

一半。一半 。中国教育培训领导品牌 中国教育培训领导品牌 航向 航向 航向 航向 海里 海里 505050 海里 海里 海里 (200720072007•• •南充) 南充) 南充) 轮船、轮船、轮船、轮船从海平面从西向西南404040出发，沿404040海里方向行驶至海里至BB，再由BB至西北至西北向西北 202020606060 Sea mile sea mile sea mile (200520052005•••Yangzhou) 如图，边长设置为扬州) 如图，边长设置为扬州) 如图, 设置边长为 44 的 equilateral equilateral 的 equilateral equilateral ABCABCABC, 沿轴向 左轴向左平移后，平移向左平移 22 个单位，得到单位后，后er获取单位，可以得到AA（200920092009•••浙江）如图所示，边长为浙江）如图所示，边长为浙江）如图所示，在等边三角形ABCABCABC边长为 44 的 ADADADBCBCCBC，以 ADADAD 为一边，向右做一个等边三角形，向右做一个等边三角形，再做一个等边三角形 ADEADEADE。 . ) 求ABCABCABC 的面积、面积、面积SS（由222）判断）判断ACACAC, , , DEDEDE 的位置关系，并给出证明。的位置关系，并给出了证明。的位置关系，并给出了证明。 (200920092009•••Liaoyang) Liaoyang) Liaoyang) 如图，如图，ABCABCABC为等边三角形，等边三角形，等边三角形，DD为边BABA BA延长线上的一点, 延长线上的一点, 延长线上的上一点, connect connect connect CD CD CD,, 以 CDCD CD 为一边, 做正三角形的一边, 做正三角形的一边, 做正三角形 CDE CDE CDE，connect connect connect AE AE AE，判断，判断，判断 AE AE AE 和 BC BC BC 的位置关系，并说明原因。位置关系，并说明原因。位置关系，并说明原因。中国教育培训领先品牌，中国教育培训领先品牌（边长（1112 3332 6664 （20042004 2004•••苏州）） 已知：如图，是苏州） 已知：如图，是苏州) 已知：如图所示，正边 ABC ABC ABC 的边长为 aa 边上的一个动点 ACAC AC，在边上延伸一个动点，在边上延伸一个动点，在边上延伸AB AB AB，使得BE=CDBE=CD BE=CD，接DE DE DE，交接，交接BCBC BC (111）证明：)证明：)证明：DP=PE DP=PE DP=PE;;是ACAC AC的中点中点，求，求BPBPBP[例999] 已知：如图， ] 已知：如图， ] 已知：如图，ABC ABC ABC, , CDECDE CDE 都是等边三角形，等边三角形、等边三角形和等边三角形。 , , AD AD AD, , 分别为线段 AD AD AD, 的中点。的中点。的中点。 (111）验证: )验证: )验证: AD=BE AD=BE AD=BE;; ) 求 DOEDOE DOE 的度数；的程度；的程度； (333）Verify: )Verify : ) 证明：MNC MNC MNC 是一个等边三角形。是一个等边三角形。是一个等边三角形。 【例1010 10】如图，等边]如图，等边]如图等边ABC ABC ABC的边长为10 10 10，点为边ABAB的中点AB, 的中点, 的中点, QQ 是 BCBC 延长线上的一点 BC, 延长线上的一点, 延长线上的一点, CQ CQ CQ:: : BC=1 BC=1 BC= 1:::22为PEPE PE ACAC AC Yu Yu Yu EE，连接PQPQ PQ与AC AC AC交叉，找到DEDE DE(20122012 2012•••Shenzhen)Shenzhen)Shenzhen)如图，如图, known: Known: Known: MON= 30 MON=30 MON=30 , dot AA ... on ray on ray on ray ON, dot BB ... on ray on ray on ray OM OM OM, 中国教育和教育领导品牌培训 中国教育培训领先品牌 中国教育培训领先品牌 品牌（20062006 2006•••嘉峪关）嘉峪关）嘉峪关）ABC ABC ABC是等边三角形，是等边三角形，是等边三角形，DD分别是边上边BC BC, , , CA CA CA , , , AB AB AB 和AE=CD=BFAE=CD=BF AE=CD=BF，然后是DEFDEF DEF三角形。三角形。三角形。 333SS =2S=2S =2S 22 222SS =3S=3S =3S 22 222SS =2S=2S =2S 22 (2007•2007• 2007•娄底) 郑娄底) 郑娄底) ABC ABC ABC 二角平分线,角平分线,角平分线 BD BD BD 和 sum 与 CE CE CE 相交于点 II，则 BICBIC BIC 等于 ( 等于 ( 等于 ( .6060 60 .9090 90 .120120 120 . 150150 150 333、)如图,,,,,,,如图,EE是等边是等边是等边ABC ABC ABC ACAC边上的一个点,边上的一个点,边上的一个点,1=, BE=CDBE=CD BE=CD，那么是的，那么对ADEADE ADE的形状最准确的判断是( . 对( 的形状最准确的判断。等腰三角形等腰三角形等腰三角形。等边三角形等边三角形等边三角形CCC . Scalene Triangle. Scalene Triangle. Scalene Triangle DDD. Undetermined Shape. Undetermined Shape. Undetermined Shape (19991999 1999•••Guangzhou) 如图，在广州）如图所示图中的n，在广州）如图所示，以AA两点，两点，两点为等边三角形，两个顶点不同位置，最多两个顶点可以做成等边三角形不同位置三角形，在最多可以制作两个顶点在不同位置的等边三角形，最多 (20112011 2011••• Nanping) 边长等边三角形 Nanping) 边长等边三角形 44 等边三角形 等边三角形 高度为 ((20072007 2007•• •绵阳）如图，在绵阳）如图，在绵阳）如图，正方形ABCD ABCD ABCD的外侧，作为等边的外侧，作为等边的外侧，作为等边ADE ADE ADE ,,,CECE CE,分别交AD AD AD于宇GG,设CDHCDH CDH,,GHEGHE GHE区,分别为中国教育培训领导品牌中国教育培训领导品牌na的教育培训领导品牌点对点对点对点设置甲虫设置甲虫对折，对折，对折，（2​​0062006 2006•••天津）如图，天津）如图等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，天津）如图，AA 三点同三点同三点同直线上，上，DACDAC DAC 和 EBC EBC EBC 都是等边三角形，等边三角形，等边三角形， , , AE AE AE, , BD BD BD 和 CD CD CD, , , CE CE CE MM , NNN，如下结论： ，有以下结论： ，有以下结论： ACE ACE ACE DCBCB DCB； ; CM=CNCM=CN CM=CN; ; AC=DNAC=DN AC=DN。其中，正确结论数为( 。其中，正确结论数为( 。其中，正确结论数为( ( 20062006 2006••••南宁)) 图为等边三角形木框，甲虫南宁）图片为等边三角形木架，甲虫南宁）如图所示为等边三角形木架，甲虫PP在边框上爬行AC AC AC（爬行上（AA端点除外）爬行上端点) 端点除外) PP 到另外两条边 到另外两条边 到另外两条边 到另外两条边的距离是距离之和 距离之和是dd d，等边三角形, 等边三角形, 等边三角形 ABC ABC ABC AND AND AND Hh 的大小关系是 ( 大小关系是 ( 大小关系是 ( 大小关系不能用确定的方法来确定 (20062006 2006••• 曲靖) 如图) , 曲靖) 作为 s hown, Qujing) 如图，CD CD CD 是 RtRt Rt ABC ABC ABC 斜边 斜边 AB AB AB 高在斜边上，把 BCDBCD BCD 沿 CDCD CD BB 点正好落在 AB AB AB 中点 EE 的中点上equals (equal to (equal to ( 22255 33300 44455 66600 (20102010 2010••• 雅安) 如图，雅安点) 如图，CC点为线段AB AB外任意一点AB, 各自外的任一点, 各自外的任一点, 以AC AC AC, , , BC BC BC 为边，线段为边，线段为边。线段 AB AB AB 的同边是等边的同边，等边的同边是等边的同边 ACD ACD ACD 和等边和等边和等边 BCE BCE BCE，连接， connect,connect AE AE AE junction DC DC DC Yu Yu Yu M M, join, join, join BD BD BD Intersection CE CE CE Yu Yu NN N, connect, connect, connect MN MN MN.. (111）验证: )验证: )验证: AE=BD AE=BD AE=BD;; (222）Verify: )Verify: ) 验证: MN MN MN AB AB AB.. (20052005 2005••• 临沂) 如图, 称为临沂) 如图, 称为临沂) 如图, 已知AD AD AD 和 BC BC BC 相交点 在 OO 的交点处，OABOAB OAB 和 OCDOCD OCD 是等边三角形，等边三角形也是，等边三角形也是，有 OD OD OD 和 And 和 OB OB OB 做一个平行四边形 ODEBODEB ODEB，connect，connect，connect AC AC AC, , AE AE AE sum and CE CE CE CE,, , CE CE CE sum and AD AD AD intersect At point intersect at point intersected at point FF 证明：证明： 证明：ACE ACE ACE 是一个等边三角形。是一个等边三角形。是一个等边三角形。中国教育培训领先品牌，中国教育培训领先品牌评判中国教育培训领先品牌，择其一为证。选择一个并给出证明。选择一个并给出证明。 (20082008 2008•••绍兴)附加题，学习绍兴后)附加题，完成绍兴后)附加题，完成“几何几何复习复习”一章后，老师布置了一道思考题: 一章后老师布置了一个思考题: 一章后老师布置了一个思考题: 如图, 点数如图, 点数如图, 点数MM分别在等边三角形、等边三角形、等边三角形。 ABC ABC ABC's BCBC BC,,,CA CA CA CA 在边上，边上，边上，BM=CN BM=CN BM=CN,, , AM AM,, , BN BN BN 相交于点 点与点 QQ Q 相交。 证明： 。证明： 。确认：BQM=60 BQM=60 BQM=60 (111）请完成这个思考题；)请完成这个思考题； )请完成这个思考题； (222） 完成() 完成() 完成(111）, 同学们反思老师的启发，问了很多问题，如：)，同学们在老师的启发下进行了经过反思，提出了很多问题，如： ) 学生们在老师的启发下反思后，提出了很多问题，如：If the question is in the question if the question is in the question if the question is in题“”“BM=CN BM=CN BM=CN”””和BQM=60BQM=60 BQM=60””的位置交换交换，得到的命题还真吗，得到的命题还真吗? , 得到的命题仍然成立吗? 如果把问题中的点移到问题中 如果把问题中的点 MM 分别移到 BC BC BC, , , CA CA CA 的延长线上，你还能得到延长线吗，是否还能得到延长线，是否还能得到 BQM=60 BQM=60 BQM=60 三角形分别在等边三角形ABC ABC ABC BCBC BC, , , CA CA CA CA 分别在等边三角形的上边和上边。”””改为“”“点，点，点，MM，分别，分别在正方形、正方形和正方形 ABCD 上。 ABCD ABCD 的 BCBC BC, , , CD CD CD 变边”，是否还能得到，还能得到，还能得到吗？ BQM=60 BQM=60 BQM=60 请判断并填写以下行 你判断，请填写下面的横线 请判断，填写下面的横线“” 这次是 _________________ _____________ 同学们的班级状况：同学们 班级状况：同学们的班级状况：__________________________________________________________________ 本节课后家庭作业： 本作业作业： 本作业作业： __________________________________________________________________________________ 需要 需要 需要 家长 家长帮助： 帮助： 帮助： __________________________________________________________________________________ 家长意见： 家长意见： 家长意见： ________________________________________________________________________ 中国教育培训领先品牌 中国教育n和培训领军品牌中国教育培训领军品牌）在正面ABCABC ABC，AD=4AD=4 AD=4 BCBC BC AD= AD= AD= BF=BF= BF= BC= BC= BC= aa 。 BP=BP= BP= BF= BF= BF= aa ) ACAC AC, , , DE DE DE 位置关系： 位置关系： 位置关系： AC AC AC DE DE DE。 在CDFCDF CDF中，CDE=90CDE=90 CDE=90 ADE=30ADE=30 ADE=30 CFD=180CFD=180 CFD=180 CDE=180CDE=180 CDE=180 6060 60 3030 30 =90 =90 =90 ACAC AC DE德。 . , 解：AEAE AE BC BC。原因如下： 。原因如下： 。原因如下： ABCABC ABC和CDECDE CDE是等边三角形等边三角形， , , BC=ACBC=AC BC=AC, , , CD=CE CD=CE CD=CE, , ACB=ACB= ACB= DCE=60 DCE= 60 DCE=60 , ACB+ACB+ ACB+ ACD= ACD= ACD= DCE+ DCE+ DCE+ ACD ACD ACD, 即 BCD=BCD= BCD= ACE ACE ACE, , BCDBCD BCD ACE ACE ACE, EACEAC EAC, , ACBACB ACB, , EAC= EAC= EAC= ACB ACB ACB, , AEAE AE BC BC BC。 . (111）证明：通过点)证明：通过点)证明：通过点DD为DFDF DF AB AB AB，相交，相交BCBC BC Yuyu FF ABCABC ABC是等边三角形，是等边三角形，是正三角形，CDF= CDF= CDF= A=60 A=60 A=60 ． CDFCDF CDF 是一个等边三角形。是一个等边三角形。是一个等边三角形。 DF=CD DF=CD DF=CD。 . BE=CDBE=CD BE=CD, , BE=DFBE=DF BE=DF。 和 DFDF DF AB AB AB, , PEB=PEB= PEB= PDF PDF PDF。 在 DFPDFP DFP 和 EBPEBP EBP DFPDFP DFP EBPEBP EBP (((AAS AAS AAS)).DP=PEDP=PE DP=PE..) 得到 DFPDFP DFP EBPEBP EBP，可用，可用，可用 FP=BP FP=BP FP=BP . 是 ACAC AC 中点 中点中点, , , DF DF DF AB AB AB, ) ABCABC ABC, , CDECDE CDE 都是等边三角形, 等边三角形, 等边三角形, 等边三角形, , AC=BCAC=BC AC= BC, , , CD =CE CD=CE CD=CE, , ACB=ACB= ACB= DCE=60 DCE=60 DCE=60 ACB+ACB+ ACB+ BCD= BCD= BCD= DCE+ DCE+ DCE+ BCD BCD BCD, , ACD= ACD= ACD= BCE BCE BCE, , ACDACD ACD 和 BCEBCE BCE, ACDACD ACD BCEBCE BCE, , AD=BEAD=BE AD=BE。 . ) 解：ACDACD ACD BCEBCE BCE, , ADC=ADC= ADC= BEC BEC BEC, , 等边三角形 等边三角形 等边三角形 DCE DCE DCE, , CED=CED= CED= CDE=60 CDE=60 CDE=60 , ADE+ADE+ ADE+ BED= BED= BED= ADC+ ADC+ ADC+ CDE+ CDE+ CDE+ BED BED BED, ADC+60ADC+60 ADC+60 BEDBED BED, CED+60CED+60 CED+60 , =60=60 =60 +60 +60 +60 ， =120=120 =120