等腰三角形知识点及典型习题教案模板3(【期中复习】第一讲等腰三角形【【要点梳理】)

第一讲等腰三角形【重点梳理】重点一、等腰三角形定义1.等腰三角形有两个边相等的三角形，叫做等腰三角形，两条相等的边叫做腰。另一边称为底角，两腰间夹角称为顶角，底边与腰部夹角称为底角。如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC为等腰三角形，其中AB、AC为腰部，BC为底边，∠A为顶角，∠B和∠C为底角度。 2.等腰三角形法已知线段a、b（如图）。用尺子和圆规做一个等腰三角形ABC，使AB=AC=b,BC=a。方法：1.作线段BC=a； 2.以B和C为圆心，以b为半径画圆弧，两条圆弧相交于A点； 3.connect AB,AC.△ABC 是想要的等腰三角形3.Isosceles 三角形的对称性（1)等腰三角形是轴对称图形；（2)∠B＝∠C；（3)BD ＝CD，AD为底边中线（4)∠ADB＝∠ADC=90°，AD为底边高线。结论：等腰三角形是轴对称图形，直线顶角平分线（底边的高线或中线）所在的位置是它的对称轴。4.三边相等的三角形称为等边三角形，也称为等边三角形。等边三角形三角形是一种特殊的具有三个对称轴的等腰三角形，每个角的平分线（底边的高线）（或中线）就是它的对称轴。重点解读：（1）等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角（或直角），但顶角可以是钝角（或直角）。∠ A=180°－2∠B，∠B=∠ C= 180 A. 2（2）等边三角形和等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定等于边三角形。要点二、等腰三角形属性1.等腰三角形属性 属性1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边角相等”。推论：等边三角形的三个内角都相等，每个内角都等于60°。性质2：等腰三角形底的顶角平分线、中线和高线重合。简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质。等腰三角形的两个底角（两腰的高度和两腰的中线）的平分线相等。要点解读：这个性质还可以推广到以下结论：（1）等腰三角形底边任意一点到腰部的距离都相等。

1八年级数学讲座1等腰三角形（2）等腰三角形，等腰三角形两侧中点到两条腰的距离是一样的。（3）等腰三角形两个底角平分线，两腰上两腰的高度交点与两腰的距离相等，底边两端的距离相等。（4）等腰三角形顶点到高度，中线， 三、等腰三角形判断定理1.等腰三角形判断定理如果一个三角形有两个相等的角，那么这个三角形就是一个等腰三角形。可以简单地说：在一个三角形中, 等角对 等边. 重点解读：（1) 澄清判断定理的条件和结论，不要把它和性质定理混淆。判断定理得到的结论是一个等腰三角形，一个d 性质定理是已知三角形是等腰三角形。获取边和角关系。 （2）不能说“两个底角相等的三角形，那么两个腰也相等”，因为还没有确定它是等腰三角形。2.等边三角形的确定定理 三个角相等的三角形是等边三角形，60°角的等腰三角形是等边三角形3.30°直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ，那么它所面对的直角 边等于斜边的一半 关键点四、反证法 在证明中，首先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导和论证，最后介绍证明定理所学的概念和基本事实， 题目自相矛盾的性质或条件的结果，从而证明命题的结论必为真。这种证明命题的方法是称为 m矛盾的方法。要点解读：矛盾法又叫归约法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明。有困难的提议。一般证明步骤如下：（1）假设命题的结论无效；（2）从这个假设和其他已知条件出发，推导出理论证明，推导和学习概念和基本事实，用对定理、性质或问题设置矛盾条件的结果的证明；（3）从矛盾的结果判断假设不成立，从而命题的结论是正确的。[典型例子]输入一、等腰三角形相关角1、（2016年春季？太仓市期末）的计算题例如图，已知AB=BD=DC，△ABC中∠ABC=105°，求∠A、∠C的度数 [思考点盘] 因为AB=BD=DC，所以△ABD和△BDC都是等腰三角形，我们可以设∠C=∠CDB=x，那么∠BDA=∠A= 2x，根据等腰三角形的性质和三角形内角的推论和定理， ∠A、∠C的度数可以得到。 【答题解析】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，令∠C=∠CBD=x，二年级8数学讲义1等腰三角形然后∠ BDA=∠A=2x，∴∠ABD=180°﹣4x，∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，解为：X=25°，所以2x=50°，即∠A=50°，∠C=25°。 【总结与升华】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理；利用等腰三角形的“等于等边角”的性质求解该问题，利用三角形的内角定理求解角的度数问题。 【变化】知：如图，D和E分别是AB和AC上的点，AC=BC=BD，AD=AE，DE=CE，求∠B的度数。 【答案】解：∵AC=BC=BD, AD=AE, DE=CE, ∴set ∠ECD=∠EDC=x, ∠BCD=∠BDC=y, 那么∠AED=∠ADE=2 x, ∠A ＝∠B＝180°－4 x 在△ABC中，根据三角形内角和，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①且∵A、D、B在同一直线上, ∴ 2 x ＋ x ＋ y ＝180°②由①和②可得x＝36° ∴∠B＝180°－4 x ＝180°－144°＝36°。 Type二、 等腰三角形分类讨论 Example 2、 在一个等腰三角形中，一个角是40°，求其他角。 【思考点】从一个内角为40°的等腰三角形，分析求解等腰三角形的顶角为40°，底角为40°的角，得到答案。 【答疑分析】解：（1)40°角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和=180°-40° =140°，等腰三角形的性质表明两个底角相等，所以每个底角的度数为1 140 70; 2（2)40°角为底角时，另一个底角也是40°，那么顶角的度数＝180°-40°-40°=100°。∴其他的角度是70°、70°或40°、100°。【总结与升华】这个题考查等腰三角形的性质，这道题比较简单，注意掌握分类讨论思路的应用，注意不要错过解题例3、知道等腰三角形的周长是13，而一边是3，求剩下的边。 【答与分析】解：（1)3是腰长的时候，另一腰的长度也是3，底边的长度边 = 13-3-3 = 7;第一个等腰三角形（2)3 是底长，然后是两个腰部）。长度之和=13-3=10，那么腰长就是1 10 5.2。 2 有两组：①3、3、7 ②5、5、3。从三角形的三边关系可以看出，两条边之和大于第三条边，3+3＜7，不能构成三角形，应舍弃。 ∴等腰三角形的周长是13，一边是3，另一边是5、5。 【总结与升华】等腰三角形只有边专用名词“腰”和“底”，其他三角形不要。这个问题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以这个问题要分开讨论。同时，结合三角形的内角和定理，三角形的两条边之和大于第三条边与两条边之差小于第三条边来验证哪些条件是遇到哪些不在讨论范围内，从而决定选择等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，最后得到正确答案。 【变化】知道等腰三角形底边BC=8cm，且| AC-BC|=2 cm，则腰围AC的长度为（ ）。 A. 10 厘米或 6 厘米 B. 10 厘米 C. 6 厘米 D. 8 厘米或 6 厘米 [答案] A;解：∵ |AC-BC|=2 cm，∴ AC-BC=±2。并且BC=8。 ∴ AC=10 或 6。 ∴ AB=10 (cm) 或 (6 cm)。 三、等腰三角形的性质及其应用实例4、如图所示，在△ABC中等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，边AB>AC。证明： ∠ACB>∠ABC 【思考点】在AB上截取AE=AC，连接CE，根据等腰三角形∠ACE的性质推导出∠AEC=，根据等腰三角形的性质可得∠AEC＞∠ABC三角形的外角。 【答题分析】 证明： 证明：在AB上截取AE=AC，连接CE，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE，∵∠AEC＞∠B，∴∠ACB>∠ABC。 【总结与升华】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的外角。可以得出结论，∠AEC=∠ACE和∠AEC>∠ABC是解决这个问题的关键。 【变化】已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD为中线，将BC延伸到E点，使得CE=CD。验证：DB=DE。 【答题分析】 证明：如图所示，在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠2=60°，∵BD为中线，4 八年级等腰三角形的第一讲∴BD是∠ABC的平分线，∴∠1=30°，∵CE=CD，∴∠E=∠3，∴∠E=∠2=30°，∴ ∠E=∠1，∴DB=DE。类型四、等腰三角形5、的判断实例如图1所示。在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，交点O表示为DE∥BC，交AB点D，交AC在E点。（1）试求图中的等腰三角形并说明原因；​​（2）若BD=4、CE=3，求DE的长度；（3）若AB= 12、AC= 9.求△ADE的周长；（4）如果改变原题中平行线DE的方向，如图2，OD∥AB,OE∥AC,BC= 16、你能得出什么结论？【思考拨盘】（1）用两个底角相等的三角形得到一个等腰三角形；（2）是等腰三角形的等腰解；（3）由△ ADE周长=AD+DO+OE+求解AE=AB+AC；（4）除以OD∥AB、OE∥AC、BO∠ABC、CO等分∠ACB，得△BDO和△ECO是等腰三角形，等腰三角形的两个腰部相等△ODE的周长等于BC的长度。[Ans wer and analysis] 解：（1）△DBO和△EOC是等腰三角形。 ∵BO平分∠ABC，∴∠DBO=∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，∴△DBO是等腰三角形E等腰三角形; (2）∵BD=4、CE=3, ∴From (1）, DO=4, EO=3, ∴DE=DO+OE=4+3=7; (3）△ ADE周长= AD+DO+OE+AE；∵DO=DB，OE=EC，∴△ADE的周长=AB+AC，∵AB=12、AC=9，五年级八数学课1等腰三角形∴△ADE的周长= AB+AC=12 +9=21；（4）∵OD∥AB，OE∥AC，BO等分∠ABC，CO等分∠ACB，∴△BDO和△ECO是等腰三角形，∴BD=DO， CE=OE, ∵BC =16, ∴△ODE的周长为16.即△ODE的周长等于BC的长度 [总结与升华] 本题主要考查等腰三角形的判断和性质以及平行线的性质。解题的关键是要熟练掌握等腰三角形的两个角或两条边相等。 【变例】 如图，△ABC中，D、E为点分别在AC和AB上，BD和CE相交于O点，给出以下四个条件：①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC。条件可以确定△ABC是等腰三角形。选择其中之一证明△ABC是等腰三角形。 【答案】①③； ②③； ①④； ②④可结合证明△ABC是等腰三角形形式；选择①③作为△ABC是等腰三角形的条件证明；证明：∵在△EBO和△DCO中，∵,∴△EBO≌△DCO(AAS),∴BO=CO,∴∠OBC=∠OCB,∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB,即∠ABC∠ABC ACB, ∴AB=AC, ∴△ABC 是等腰三角形。输入五、 一个直角三角形的例子6. 30°角6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠A=60°。证明：BD=3AD .[答案与分析] 证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵∠A=60°，∴∠ACD=30°∴在Rt△ACD，AD=1AC， 2且∵∠ACB=90°，在Rt△ACB中，∴∠B=30°，∴AC=1AB ∴AD=1AB，24则AD=1BD，即BD=3AD。 3【总结升华】根据直角三角形30°角的对边为斜边的一半，可得BC=2BD，AB=2BC，这样就可以从第一个推导出等腰三角形AB=4BD 6年级和8年级数学讲授，不难证明BD和AD之间的定量关系。本题主要考察30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角的直角边等于斜边的一半。 【变例】如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长度。 【答案】解：∵AD∥BC，∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°，∵BD除∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，且∵∠ABC=∠DCB=60°，∴∠BDC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴BC=2CD=2×4=8cm。输入六、反证法 例子7. 证明：在三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

[答案] 已知：△ABC 证明：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60° 证明：假设△ABC 中没有小于或等于60°的内角，则∠ A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°∴∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°，即∠A+∠B+∠C＞180°，即与三角形内角之和为 180 度的说法相矛盾。该假设不成立。 ∴△ABC 至少有一个小于等于60°的内角【总结与升华】本题结合三角形内角与定理，考察矛盾法。解决这个问题的关键是理解矛盾法的含义和步骤。矛盾法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推导出矛盾；（3）假设结论不成立，那么结论在原题成立。当假设结论不成立时，注意结论。相反，如果只有一种可能的情况，则否定一种。如果有多种情况，则必须一一否定。[变体] 下面的选项可以用来证明命题“If a2>1, Then a>1”是一个假命题的反例是()A. a= —2 [答案] AB a= —1C. a= 1 D. a=27 八年级数学第一讲等腰三角形

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