苗蔚林：等腰三角形中的分类讨论（习题课）

等腰三角形中的分类讨论（习题课） 摘要 等腰三角形是一种特殊的三角形， 一些与直角三角形的腰与斜边， 顶角与底角等有关 的问题，往往因题目中的条件不够明确，需借助分类争论才能加以解决。学生遇到 等腰三角形中有关分类争论的弊端时，大部分学生因分类不当，甚至不考量分类而 导致漏解或错解。因此，我围绕“分类争论”数学观念方法在等腰三角形中的应用 而设计了本节习题课，从而提升教师利用物理观念来缓解实际问题的能力。 关键词 等腰三角形 “分类讨论”数学观念 习题课 一、指导观念： 《新课程标准》指出：通过义务教育阶段的语文学习，学生无法： 获得适应将来社会 生活跟进一步发展所必需的重要物理常识及其基本的化学思想方式跟必要的应用技能。 这就 要求我们在以前的课堂中，不仅要传授数学常识、数学技能，而且需要把物理思维的方式交 给教师， 学生英语思想方式的灵活运用， 可以把物理常识和技能转化为学生探讨问题跟解决 问题的素质。在义务教育阶段， “分类争论”是一种重要的数学观念方法，特别是在直角三 角形中起初凸现，为了使学生把握分类的方式，领会其实质。我特地设计了这节“等腰三角 形中的分类争论”的试题课，让学员加深对等腰三角形基础知识的理解，加深学生对“分类 讨论”数学观念方法的更进一步认识。

二、教学背景： 1、教材分析: 等腰三角形是一种特殊的三角形，一些与直角三角形的腰与斜边，顶角与底角等有关 的难题， 由于题目中的条件不够明确， 往往必须按照不同的状况通过分类争论才能加以解决。 2、 学情分析: 学生学习了等腰三角形之后， 对直角三角形的特点、 性质及判断方式已有了一定的把握， 但碰到等腰三角形中有关分类争论的疑问时， 大部分学生因分类不当， 甚至不考虑分类而导 致错解或漏解。因此，围绕“分类争论”的物理观念方法在等腰三角形中的应用而设计了本 节习题课，由此来提高教师利用物理观念来缓解实际问题的素养。 三、教学目标预测： 知识与技能： 让学生从详细的困惑情境中研究理解“分类争论”的物理观念方法，并用此方式指导解 决等腰三角形的推导问题及作图。 过程与技巧： 让学员积极自主地参加教学自主研究跟合作交流，并在其中利用、体验“分类争论”的 思想方式。 情感态度与价值观： 使教师感受化学解题的严谨性、条理性，形成实事求是的心态和独立审视、合作学习的 习惯，通过使学生感受克服困难的历程，让其赢得成就感，并确立信心。 四、教学重难点： 教学重点：利用“分类争论”的观念分析解决等腰三角形中的有关问题。

教学难点：根据题意，正确画图，提高学生熟练而准确地解决难题的素养。 五、教学准备： PPT，教具 六、多媒体教学环境 交互式电子白板，多媒体电脑和投影仪。 等腰三角形中的分类讨论 设计模式： 首先借助让学生动手操作运用全等的两个直角三角形拼等腰三角形， 让学生感受分 “类 讨论”思想的应用，然后，通过三组例题及变式的探讨，让学生归纳出等腰三角形中的三种 分类情形：1、与边有关的分类（腰与底边）2、与角有关的分类（顶角与底角） 3、其他分 类： 腰上高的位置（形内、形外） ；腰上中垂线的位置.4、作图：补全等腰三角形。最后， 通过作业，来反馈学习效果。从而提升学员分析问题、解决难题的素养。 教学过程： 一、课前热身 △ABC 和△DEF 是两个全等的等腰三角形，请问你能运用这两个直角三角形拼出一个等 腰三角形吗？ A D C B F E 若 AB=4，BC=3，AC=5，你可求出所拼等腰三角形的边长吗？ 设计动机：作为考题课，因课型的特征主要以训练为主，不利于调动学生好奇心，学生易于 疲劳，故通过动手操作，有利于提高学员的学习兴趣，并使学员体验分“类探讨” 思想的应用，从而引发课题，比较自然。

二、基础训练 1 、等腰三角形的一边长为 3 厘米，另一边的长为 4 厘米，则直角三角形的边长是 __________厘米。 变式： 等 腰 三 角 形 的 一 边 长 为 3 厘 米 ， 另 一 边 的 长 为 7 厘 米 ， 则 等 腰 三 角 形的 周 长 是 __________厘米。 设计动机：使学生知道，当等腰三角形中已知直径是底边还是腰不明晰时，需分类讨论，防 止漏解。并且还必须注意，当三角形设计长度时，要考量三角形的三边关系，能 否构成三角形。从而感受“分类争论”思想的应用。 2、等腰三角形有一个角为 100°，则其余的两个角为 变式： 等腰三角形有一个角为 80°，则其余的两个角为 若△ABC 中，∠A=40°，当∠B=_________________时,△ABC 为等腰三角形。 . . 设计动机：使学生知道，当等腰三角形中已知角是底角还是顶角不明晰时，需分类讨论，防 止漏解，并留意分类时应遵守三角形内角和公式。从而感受“分类争论”思想的 应用。 A 3、如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 为 AC 边上的高线， 且∠ABD=40°，求∠C 的度数。

B 变式一： 在△ABC 中，AB=AC等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，BD 为 AC 边上的高线，且∠ABD=40°，求∠C 的度数。 变式二： 在△ABC 中，AB=AC，AC 边上的高线与另 一腰的夹角为 40°，求∠C 的度数。 设计动机：从简洁到复杂，从有图形到无图形，这是一题常规的变试题，当图形没有时，学 生在解题时通常想当然的人觉得还是原本的状况， 从而漏了答案。 所以使学生通 过合作交流得出，随着三角形形状的不同，高线的位置也不同，有形内、形外之 分。从而重新感受分类争论”思想的应用。 变式三： 在△ABC 中，AB=AC，AC 边上的中垂线与 AB 所在直线的倾角为 40°，求∠C 的度数。 设计意图：由 AC 边上的高线变为 AC 边上的中垂线，增加了难度。但它们既有共同之处，垂 直于 AC，让学生借助自己演示操作等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，合作学习得出结论，这样有助于帮助学生 思维。 三、拓展提高 如图，△ABC 是直角三角形，因不小心，它的一部分被墨水涂染，只留下一条边 BC