二重积分的应用_曲线积分的应用_二重积分的应用z=x y(2)

??Df(x,y)d???dy?f(x,y)dx． cadb

定理10 若f(x,y)在如D???x,y?|y1(x)?y?y2(x),a?x?b?所示的x型区域D上连续，其中y1(x)，y2(x)在?a,b?上连续，则

??f(x,y)d???Dbadx?y2(x)y1(x)f(x,y)dy．

即二重积分可化为先对y，后对x的累次积分．

定理11 若函数P(x,y)，Q(x,y)在闭区域D上连续，且有连续的一阶偏导数，则有

??(

D?Q?P?)d????LPdx?Qdy， ?x?y

这里L为区域D的边界曲线，并取正方向．

定理12 设D是单连通闭区域．若函数P(x,y)，Q(x,y)在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：

(1) 沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有

??Pdx?Qdy?0； L

(2) 对D中任一按段光滑封闭曲线L，曲线积分

?LPdx?Qdy

与路线无关，只与L的起点及终点有关；

(3) Pdx?Qdy是D内某一函数u(x,y)的全微分，即在D内有

du?Pdx?Qdy；

(4) 在D内处处成立

?P?Q?． ?y?x

定理13 设f(x,y)在有界闭区域D上可积，变换T：x?x(u,v)，y?y(u,v)将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域?一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x(u,v)，y(u,v)在?内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式

J(u,v)??(x,y)?0，(u,v)??， ?(u,v)

则??f(

D．x,y)d?xd?y?((f,x)uv(u))v (J,u)vdudv?

定理14：设fxy(,)?x?rcos?,满足定理１３的条件，且在极坐标变换T： 0?r???，??y?rsin?,0???2?下，xy平面上有界闭区域D与r?平面上区域?对应，则成立

??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?． D?

3.二重积分的性质

性质1 若f(x,y)在区域D上可积，k为常数，则kf(x,y)在D上也可积，且

??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?．

DD

性质2 若f(x,y)，g(x,y)在D上都可积，则f(x,y)?g(x,y)在D上也可积，且

???f(x,y)?g(x,y)?d????f(x,y)d????g(x,y)d?． DDD

性质3 若f(x,y)在D1和D2上都可积，且D1与D2无公共内点，则f(x,y)在D1?D2上也可积，且

D1?D2??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?． D1D2

性质4 若f(x,y)与g(x,y)在D上可积，且

f(x,y)?g(x,y)，(x,y)?D，

则＼．

性质5 若f(x,y)在D上可积，则函数f(x,y)在D上也可积，且

??f(x,y)d????DDf(x,y)?．

性质6 若f(x,y)在D上可积，且

m?f(x,y)?M，(x,y)?D，