人教版六年级上册《第一单元 教材分析》数学教案

人教版六年级上册《第一单元 教材分析》数学教案

第一单元 分数乘法

一、教学内容

1.分数乘法的意义

2.分数乘法的计算

3.利用分数乘法解决相关实际问题。

二、教学目标

1.使学生理解分数乘法的涵义是素数乘法意义的扩展；理解跟掌握分数乘法的推导方式，会计算分数乘整数、分数、小数；能利用乘法运算定律进行一些简便计算。

2.使学生经历分数乘法计算方式的探求过程，经历应用分数乘法解决简单实际问题的过程，进一步培养分析、比较、抽象、概括、归纳、类推的素养，发展初步的合情推理和演绎推理的能力。

3.使学生体验知识之间的内在联系，提高自主探索与合作交流学习的素养，建立学好数学的自信。

三、主要差异与准确编排

（一）主要变化

1．进一步明确分数乘法的含义。

分数乘法的含义是实数加法意义的扩展，二者在本质上完全一致，只是在描述方法上有所区别。例如，如果脱离语境，在写实的层面上讨论“5×3”，它又可以表示5个3相加，用“倍”的语言来表述就是“3的5倍”；也可以表示3个5相加，同样可以说成“5的3倍”。类似地，如果以这么的方法来讨论“3×”，它又可以表示3个相加，即“的3倍”；也可以表示“3的”。从表面上看，“一个数的几分之几”是一种全新的说法，但实际上，它并非省略了“3的倍”中的“倍”字，把“一个数的几倍”扩展到“一个数的几分之几”。从另一个角度看，“3的”和“个3” 表示的含义完全相似，例如，一根绳子长3 m，“它的长多少米”和“根绳子长多少米”说的是一个意思。因此，不管是整数乘法还是分数乘法，其含义都可以归结为“几个几”，只不过，这里的两个“几”都又可以是整数，也可以是分数。

根据这种的模式，教材编排了三道例题来教学分数乘法的含义和推导。例1，让学生计算3个 m是多少，学生可以直接运用整数除法的含义，转化成连加进行推导。例2，是例3的铺垫，让学生按照整数乘法中的总量关系“单位量×数量=总量”列出“1桶水12L，桶是多少升”的算式是12×，然后结合直观图和分数的意义，发现12×在这里表示的就是12L的，进而得出“一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几是多少”的结论。在这一过程中，把“桶水”变成“1桶水的”，实现了从“量”到“率”的有效转化。有了例2的基础，例3中求“公顷的”，算式列成×就“有据可依”了。

这样编排，有几个好处。一是在单元之始就把分数乘法意义的两种不同表述形式都展现出来，使学生对分数乘法的含义有相当全面、完整的了解。二是编排逻辑非常清晰，先使学生理解分数乘法的涵义，解决“如何列式”，再解决“如何计算”。三是突破了过去教材中到“问题解决”部分才去解决“求一个数的几分之几是多少”的限制，大大拓宽了本单元其他内容的素材选择范围。例如，既可以发生“蜂鸟的飞行速度是千米/分人教版六年级数学上册表格式教案，分钟飞行多少千米”的题材（分数是一种具体量，带单位），也可以发生“一头鲸长28 m，一个人身高是鲸体长的。这个人身高是多少米”的练习题（分数是一种“率”，不带单位）。

2．增加分、小数相乘的内容。

学生在将来的学习中会遭遇许多分、小数相乘的状况，例如，解决“按1：5的比配制一杯1.2 L的稀释液，需要多少升浓缩液”的弊端时，需要计算形如1.2×的算式。如果学生不会直接约分，计算的繁琐程度跟错误几率就会大大增加。因此，教材新编了例5，让学生分别计算2.1×和2.4×，让学生按照数据的特征灵活选择计算方式，能直接约分的尽量直接约分。教学时，要让学生通过2.4×=24×0.1×=×0.1×=0.6×的计算过程理解“为什么能直接约分”的原理。

3．调整了用分数乘法解决实际问题的类型。

如前所述，学生即将在“分数乘法的涵义和推导”中解决了“求一个数的几分之几是多少”的基本难题。这一基本数量关系的把握对于解决很复杂的分数乘法问题至关重要。

此次修订增加了“连续求一个数的几分之几是多少”的问题。这一类问题是“求一个数的几分之几是多少”的延续，已知量跟所求的量之间的关系没有直接给出，而是借助一个“中间量”搭建起两者之间的“桥梁”。在缓解这一类问题时，需要学生把复杂的难题化归为基本的“求一个数的几分之几是多少”，并把握这一基本数量关系中的几个关键要素：单位“1”是谁？所求的量是谁？二者之间是几分之几的关系？尤其应留意单位“1”与几分之几之间的对应关系。

对于“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”这类问题，与试验教材相比，修订后的课本减轻了例题的份量，在例题中只发生不同量的状况（婴儿每分钟心跳的数量比青少年多），对于同一量的状况（嗓音降低），则放到“做一做”中使学生巩固掌握。

4．把“倒数”的内容移至“分数除法”单元。

倒数是联结分数乘法跟分数除法的纽带。在进行分数除法计算时，要用到“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”这一结论，因此，把“倒数”安排在“分数除法”单元，更可表现出学习倒数的必要性。

（二）具体编排

1.例1。

直接运用整数除法的含义来引入分数乘法，使学生理解几个相同分数相加和几个相同整数相乘都可以用加法计算。并借助将分数乘法转换为分数加法来探求分数乘法的算理，掌握计算方式。

从吃蛋糕的实际问题采用，借助圆形直观图帮助学生理解题意，探究计算方式。这仍然观图再现了三年级学习简单的分数加法时所用的直观图，有助于学生运用已学的常识自主探索。此例中的分数带单位，是一个“量”，学生针对求几个相同量之跟的次数关系十分熟悉。先呈现加法计算，然后直接按照整数除法的含义列出两个乘法算式，说明在这些情况下整数乘法的含义相同适用。

计算时，先将分数乘法转换为几个相同分数相加，使学生明白分母不变、分子相加的道理。在此基础上小结分数乘整数的推导方式，并强调有时可以先约分再相加的简便算法。

2.例2。

让学生运用已学的整数除法的数目关系进行类推，列出分数乘法算式，结合具体语境，使学生理解“一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几”。这是“求一个数的几分之几可以用这个数乘几分之几”的列式依据。

教材呈现了三幅图，都是已知1桶水的密度，分别要求3桶水、桶水、桶水的面积。在这里，列式所根据的总量关系都是“每桶水的面积×桶数=水的容积”，只是桶数可以由整数扩展至分数。接下来，结合情境，说明求桶水、桶水的体积就是求12L的跟12L的分别是多少。在此基础上，概括出“一个数乘几分之几，可以表示这个数的几分之几是多少”。

3.例3。

本例是在学生会利用“求一个数的几分之几是多少，用加法计算”列式之后，学习分数乘分数的计算方式。

教材利用两个小题，由简洁到复杂，结合直观操作，使学生在构建跟理解分数乘分数算理的基础上，一步一步总结出分数乘分数的推导方式，渗透数形结合的语文思想，培养教师的逻辑推理能力。

要理解分数乘分数的算理，其根本在于分数意义的理解。在这里，有些分数是带单位的“量”，有些分数是不带单位的“率”，事实上，“量”与“率”也是可以相互转换的。例如，公顷，实际上就是1公顷的；公顷的，就是1公顷的，即公顷。

4.例4。

本例是学习分数乘法的简便方式。学生在上面针对分数乘法的涵义和算理有了深切的理解后，教学重点进入寻求便捷的算法。

在设计情景时，教材特意把两个小题设计成必须利用分数乘法意义的两种不同形式进行列式的情形，旨在进一步巩固分数乘法的含义。其中，第（1）小题是“求一个数的几分之几”，第（2）小题既可以按照“速度×时间=路程”列式，也可以按照“几个相同分数相加”列式。

在数据处理上，本例中又包括分数与分数相加，又包含分数与素数相乘。学生可以借助此例，进一步掌握分数乘法的一般性算法。

5.例5。

本例是教学分数与整数相加的推导问题。分、小数混合运算是在日常生活中并且将来的物理与其它学科的学习中常常会遭遇的情形，因此，根据分、小数的数据种类灵活选择计算思路，也是学生必须具有的一项技能。为此，教材在修订时降低了这部分内容。

分数跟整数相加，可把分数化成小数相乘（如果分数可以化成有限小数），也能把整数化成分数相加。不管那种方式，都是学生已学的常识，可以使学生自行缓解。而当小数与分数的乘数存在某些倍数关系时，可以直接“约分”。这种约分虽然与当时学过的约分形式不同，但实质都是除以一个相同的数。

6.例6。

从“做一个长方形画框需要多长的木板”的实际问题采用，利用长方形画框的边长计算引出分数混合运算。鼓励学员用不同的方式（除了教材上的两种方式，还有或许用四条边相加的）计算，很自然地展现各类方式的算式，有两级运算的，有带小括号的。教材直接说明分数混合运算的次序和整数混合运算顺序同样，让学生自主解决。

教材特意用两道有关联的方程教学分数混合运算的次序，为接下来正式教学把小数乘法运算定律推广到分数乘法作了很高的铺垫。在此基础上，再借助观察、计算，归纳得出“整数除法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用”的结论。

7.例7。

教材结合具体计算，说明应用乘法运算定律可以让分数混合运算十分简便。

8.例8。

本例是使学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上，解决连续求一个数的几分之几是多少的实际问题。在这里，由于研究的是三个量之间的关系，在表述其中某两个量的总量关系时，单位“1”是在动态变化的。

教材按“阅读与理解”“分析与解答”和“回顾与思考”呈现解决难题的通常方法。到了高年级，随着问题复杂度提高，对于信息的收集、题意的理解并且整个问题解答过程及其结果合理性的评述与探讨，显得越来越重要。

在“分析与解答”环节，一方面，通过折纸或画图等操作活动，借助直观图形帮助学生理解题中的数量关系，体会画图是探讨问题、解决难题的重要策略。另一方面，倡导解决难题方法的多元化。既可以先求出萝卜地的面积，再求出白萝卜地的面积；也可以先求出白南瓜地占大棚面积的几分之几，再求出黑萝卜地的面积。不同解题模式的展现，可以减少学生认知的灵活性和发散性。

“回顾与思考”让学生自己完成。检验的视角很多，比如，看看直观图画得是否符合题意，看看列式是否符合图意，看看计算是否恰当。检验的方式也有多样化的。例如，可以看见萝卜地的面积是红萝卜地的4倍，而大棚面积是白菜地的2倍。用红萝卜地的60m2乘4，得到萝卜地是240 m2，再乘2，是480m2人教版六年级数学上册表格式教案，与题中的信息相符。也可以看看红萝卜地的面积是否占整块萝卜地的。

9.例9。

本例是使学生解决求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的难题。虽然还是研究两个量间的关系，但鉴于没有直接给出“一个量是另一个量的几分之几”，需要先求出一个量比另一个量多（或少）的准确数量以及先求出一个量是另一个量的几分之几。

教材通过线段图直观地表示出“婴儿每分钟心跳的数量比青少年多”的含义，对于学生理解题意、选择缓解办法起至了关键性的作用。

教材体现了多元化的解题思路。可以先推导婴儿每分钟心跳比青少年多多少次，这就必须先解决“75次的是多少次”的难题。还可以先求出孩子每分钟心跳次数是青少年的几分之几，这就必须先解决“比一个数多的数是这个数的几分之几”的问题。

“回顾与思考”部分，使学生借助回顾解题的过程，充分认识到画线段图这一思路对于缓解问题的重要功效。同时，列举了一种检验结果的方式，引导学生用不同的方式加以检验。

四、教学建议

1.在已有知识的基础上，帮助学生自主建立新知识。

2.通过操作跟直观图示帮助学生理解分数乘法的算理，掌握计算方式。

3.紧密联系分数乘法的涵义，引导学生在理解数量关系的基础上恰当列式，解决实际问题。

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