人教版八年级数学下册《勾股定理与逆定理》精品教案（解析

如，几何证明题中的线段倍分关系，可联想到“三角形的中位线定理”、“梯形中位线定理”、“相似三角形的相似比”以及直角三角形的相关定理。d选项，勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。4，cauchy估计公式、解析函数的幂级数表示、整函数、解析函数的零点、liouville定理、代数基本定理、最大模定理、闭曲线的指标。

下面仅用若干种既简单又著名的证明方法来进行说明以拓展学生思路.【探究一】以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明”“无字证明”不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形或移动图形就可以得证。⑴ 刘徽的证明约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。如上图，小正方形与较大正方形的面积和与最大正方形的面积之间的等量关系，不依靠运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理。⑵ 拼图证明上面的两个图形是在印度、阿拉伯和欧洲出现的一种拼图，通过图形的拼凑，可以简洁轻易地证明勾股定理.⑶ 意大利著名画家达·芬奇的证法①在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b的正方形，连接BC、FE，如图1.②沿ABCDEF剪下，得两个大小相同的纸板Ⅰ、Ⅱ，如图2.③将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼在一起，可以得到其他图形，如图3.图3图2图1通过剪接翻转拼凑，两个长方形纸板（图1和图2 ）里面的六边形是相等的，从而可以直观地得到，图1和图3中的四个三角形是全等的.所以，正方形的面积加上正方形的面积等于正方形的面积，即.【探究二】以欧几里得的证明方法为代表的证明方法在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明. 设△ABC为一直角三角形，其中C为直角.从C点划一直线至对边，使其垂直于对边.延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等.在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：①如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等.（SAS定理）②三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.③任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.④任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积做三个边长分别为的正方形，把它们拼成如图所示形状，使三点在一条直线上，连结BF，CD，AK，CE，过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L∵∴∵的面积等于∵的面积等于矩形ADLM的面积的一半∴矩形ADLM的面积等于同理可证，矩形MLEB的面积等于∵正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积[来源:Zxxk.Com]∴，即.【探究三】以赵爽的“弦图”为代表的数形结合的证法这一类证法，运用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系. 体现了以形证数、形数统一、代数和几何的紧密结合。

讲义上介绍了赵爽弦图（外弦图）、内弦图及总统证法。【探究四】其他证明方法⑴ 梅文鼎证明做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且Rt△GEF ≌ Rt△EBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则, ∴ .⑵ 项明达证明做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形勾股定理逆定理教案，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴Rt△BMQ ≌Rt△BCA.同理可证Rt△QNF ≌Rt△AEF.从而将问题转化为⑴的梅文鼎证明.【例2】 ⑴ 如下左图，是一段楼梯示意图，楼梯长米，高为米，若在此楼梯铺地毯，则地毯的长度至少需要_______米．⑵ 下右图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．⑶ 如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为．⑷ 已知中，，，高，则的长为__________.【解析】 ⑴ ．⑵ ．⑶ 分类讨论：10为斜边或x为斜边，∴高为8或10.⑷ 分类讨论勾股定理逆定理教案，如图或4.题型二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的逆定理通常用来判断直角三角形或证明线段的垂直关系．对于勾股定理逆定理的证明，我们采用构造全等三角形的证明方法来完成．已知：如图，已知的三边满足，求证：是直角三角形．证明：以为两条直角边，为直角构造，则由勾股定理得，由已知可知，∴，∴，∴是直角三角形．【引例】 在中，，，中线．求证：是等腰三角形．【解析】 证明：如图，在中，，∴是直角三角形，，∴也是直角三角形，∴，∴，∴是等腰三角形．【例3】 ⑴ 下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A.B.C.D.⑵ 下列各组式子所表示的线段中，一定能构成直角三角形的有_____________．① ，，（）；② ，，（是正整数）；③ ，，；④ ，，（）⑶ 如下图，在由单位正方形组成的网格图中标有，，，四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【解析】 ⑴ D⑵ ④⑶ ，，，，选B．【例4】 1. 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状；【解析】 ∵a2c2－b2c2=a4－b4∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，∴c2=a2+b2，或∴△ABC是直角三角形或等腰三角形.2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．⑴ 求DE的长；⑵ 求△ADB的面积．【解析】 ⑴∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；⑵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．题型三：勾股定理与逆定理的应用在几何题中，通常会综合运用勾股定理与逆定理解决三角形的问题，如证明两条直线互相垂直、图形折叠、在数轴上寻找无理数、解斜三角形等等．同时，在综合题中也常常利用勾股定理求线段长．【引例】 如图，铁路上、两点相距，、为两村庄，若，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．求应建在距多远处？ 【解析】 设的长度为，由勾股定理得：，解得．【例5】 ⑴ 如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012=．⑵ 如图，一架长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙．⑶ 如图，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、