积化和差与和差化积公式

[基本要求]

能推导积化和差与和差化积公式，但不要求记忆，能熟练地综合运用两类公式解决有关问题。

[知识要点]

1、积化和差公式：

sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]

积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个：

sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]

2、和差化积公式

1 ∴tan θ＝－2. cos2θ－sin2θ cos 2θ ∴ ＝ 1＋sin 2θ sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ cos θ－sin θ ＝ cos θ＋sin θ。cos 2α＋sin 2α＋1 解析： cos2α 2cos2α＋2sin α· α cos ＝ cos2α ＝2＋2tan α＝3.。1 2 4 2 角，∴cos α＝－ ，∴sin α＝－ ，∴sin α＝5. 5 5 sin 2α 2sin αcos α ∴tan 2α＝cos 2α＝ 2 cos α－sin2α 2。

sinθ-sinφ=2cossin

2cos 2000πt) sin(2π×8 ×10 ×t)50[cos 2000πt cos(2π×8 ×105 ×t) =+sin 2000πt sin(2π×8 ×105 ×t)]5 5+100[sin 2000πt cos(2π×8×10 ×t )。 2/π π证明：2 22 2cos cos( )cos cos cos sin sin( cos )cos sin sin( cos ) ( sin ) cos( )2 cos cos( )cos( )a t b ta t b t b ta b t b ta b b ta ab b tc tω ω 。] 方法二：原式＝ sin 2α sin2 α－cos2 α＋2cos α－1 2cos α－2cos2 α ＝ ＝ 2sin αcos α sin 2α 2cos α。

1 ∴tan θ＝－2. cos2θ－sin2θ cos 2θ ∴ ＝ 1＋sin 2θ sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ cos θ－sin θ ＝ cos θ＋sin θ。cos 2α＋sin 2α＋1 解析： cos2α 2cos2α＋2sin α· α cos ＝ cos2α ＝2＋2tan α＝3.。1 2 4 2 角，∴cos α＝－ ，∴sin α＝－ ，∴sin α＝5. 5 5 sin 2α 2sin αcos α ∴tan 2α＝cos 2α＝ 2 cos α－sin2α 2。

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：

①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos

②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

④合一变形也是一种和差化积。

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

[例题选讲]

1、求下列各式的值

①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°

②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°

③csc40°+ctg80°

④cos271°+cos71°cos49°+cos249°

解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°

=+cos80°+2cos100°cos60°

=+cos80°-cos80°=

②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°

=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)

=sin22°+-sin22°=

③csc40°+ctg80°=+

6l gnk t9m d9c l162b kw33 e6i chy n04 d31c 5z ja de 1bl3 951b mvm r8 a81a m56 ja3 l60b l56b 952b mw r80a aaey m57 jap l61 e15 pu1 c8h v5g z13 leab aaev j y57 edk z9p 4。innos-d9c-44.4%。2.新增innos d9c机型适配。

==

==2cos30°=

④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°

=(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°

=(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°)

2/π π证明：2 22 2cos cos( )cos cos cos sin sin( cos )cos sin sin( cos ) ( sin ) cos( )2 cos cos( )cos( )a t b ta t b t b ta b t b ta b b ta ab b tc tω ω 。1、积化和差公式: sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ=[sin...。按照三角函数的解法sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,就是(sinπcos π/4 +cosπsin π/4)*10√2,sinπ=0,cosπ=-1,sin π/4=√2/2。

=cos211°+-(2cos211°-1)

1882年&mdash。冯玉祥 (1882～1948)冯玉祥（1882~1948）原名基善，字焕章。（1883─1945） 1932年：富兰克林·德拉诺·罗斯福（1882─1945...：富兰克林·德拉诺·罗斯福（1882─1945）（第二次） 1935年：海尔...·德拉诺·罗斯福（1882─1945）（第三次） 1942年：约瑟夫...。

解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°

贵阳市小河区金竹社区服务(小妹)啪啪啪找这一晚上全套多少【157.x.1291.x.8441 莹莹】贵阳市小河区金竹社区小妹【157.x.1291.x.8441 莹莹】贵阳市小河区金竹社区服务(小妹)哪有找这全套一晚上真有多少【157.x.1291.x.8441 莹莹】我们将竭诚为您服务，只有您想不到，没有我们做不到十分钟我们一定能送到您指定的酒店.。郑州金水区北林路服务(小妹)啪啪啪找这一晚上全套多少【157.x.1291.x.8441 莹莹】郑州金水区北林路小妹【157.x.1291.x.8441 莹莹】郑州金水区北林路服务(小妹)哪有找这全套一晚上真有多少【157.x.1291.x.8441 莹莹】我们将竭诚为您服务，只有您想不到，没有我们做不到十分钟我们一定能送到您指定的酒店.。贵阳市云岩区中华中路服务(小妹)啪啪啪找这一晚上全套多少【157.x.1291.x.8441 莹莹】贵阳市云岩区中华中路小妹【157.x.1291.x.8441 莹莹】贵阳市云岩区中华中路服务(小妹)哪有找这全套一晚上真有多少【157.x.1291.x.8441 莹莹】我们将竭诚为您服务，只有您想不到，没有我们做不到十分钟我们一定能送到您指定的酒店.。

冯玉祥 (1882～1948)冯玉祥（1882~1948）原名基善，字焕章。（1883─1945） 1932年：富兰克林·德拉诺·罗斯福（1882─1945...：富兰克林·德拉诺·罗斯福（1882─1945）（第二次） 1935年：海尔...·德拉诺·罗斯福（1882─1945）（第三次） 1942年：约瑟夫...。本程序工作年限：1882年正月初一（1882年2月18日）至2060年十二月二十九，共179年。

=+(cos142°+cos98°)++cos22°

=+cos120°cos22°+cos22°=

解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°

y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°

则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)

=2+cos22°

x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°)

=cos142°+cos120°+cos98°

=-+(cos142°+cos98°)

=-+2cos120°cos22°

=--cos22°

联立二式得x=

解析： (1)∵a· b＝(cos α，sin α)· β，sin β) (cos 2 ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝ ， 2。 2/π π证明：2 22 2cos cos( )cos cos cos sin sin( cos )cos sin sin( cos ) ( sin ) cos( )2 cos cos( )cos( )a t b ta t b t b ta b t b ta b b ta ab b tc tω ω 。] ， k ∈ z ------------13 分． 已知向量 a = (sin α , cos α ), b = (cos β , sin β ), b + c = ( 2 cos β ,0), 18（本小题满分 13 分）a 。

求tgαtgβ的值

解：

①2+②2得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=∴cos(α-β)=

②2-①2得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=-

∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-

∴2·cos(α+β)+2cos(α+β)=-

∴cos(α+β)=-

又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=

25级=64410分。等级25=64410。231984洛杉矶体操男子双杠金牌美国conner,bartholdwayne巴特霍尔德·。

这个镜头如何： 宾得da 55-300mm f4-5.8ed wr。小钢炮－nikkoraf80-200f/2.8ed。金广角：nikkor af-s 17-35f/2.8ed。

3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()=+4

(1)求a、b的值

(2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。

解：(1)∵f(x)=sin(ωx+φ)+1

∴=π

1+=7

由条件asin+bcos+1=+4

∴a= b=6

(2)由

两式相减得 a(sin2α-sin2β)+b(cos2α-cos2β)=0

2a[sin(α-β)cos(α+β)]+2b[-sin(α+β)sin(α-β)]=0

∵α≠kπ+β (k∈z)∴α-β≠kπ (k∈z)

∴acos(α+β)-bsin(α+β)=0

%nvidia_dev.0deb.01% = section001,pci\ven_10de&dev_0deb。%nvidia_dev.0deb.01% = section001, pci\ven_10de&dev_0deb。nvidia_dev.0deb.01 = 'nvidia geforce gt 555m'。