大学高等数学：第七章第三讲可分离变量的微分方程

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利(bernoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉(euler)方程 微分方程的简单应用。六、常微分方程与差分方程考试要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.会解二阶常系数齐次线性微分方程.4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式.指数函数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程.5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.7.会用微分方程求解简单的经济应用问题.。 通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解: 确定了通解中任意常数以后的解初始条件: 用来确定特解的条件初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一个就是一阶微分方程，三种可解的类型，可分离变量的方程，还有齐次方程，还有一阶线性微分方程，这三种方程你要确实掌握，不管给了你什么样的题，你应该能够准确的做出来。

我们讨论一阶微分方程

y'=f(x,y)(2-1)

的一些解法。

一阶微分方程有时也写成如下的对称形式：

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(2-2)

的方程(2-2)中，变量x与y对称，它既可看作是以x为自变量y为因变量的方程

dy/dx=-P(x,y)/Q(x,y)

(这时Q(x,y)≠0)。

在上节的列1中，我们遇到一阶微分方程

dy/dx=2x,

或

dy=2xdx

把上式两端积分就得到这个方程的通解

y=x^2+C

但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解，列如，对于一阶微分方程

dy/dx=2xy^2(2-3)

就不能像上面那样用直接对两端积分的方法求出它的通解，这是什么缘故呢？

原因是方程(2-3)的右端含有与x存在函数关系的变量y,积分

∫2xy^2dx

求不出来，这是困难所在，为了解决这个困难，在方程(2-3)的两端同时乘dx/y^2,使

方程(2-3)变为

dy/y^2=2xdx

这样，变量x与y已分离在等式的两端，然后两端积分得

-1/y=x^2+C

或

y=-1/(x^2+C)(2-4)

其中C是任意常数。

可以验证，函数(2-4)确实满足一阶方程(2-3),且含有一个任意常数，所以它是方程(2-3)的通解。

一般的，如果一个一阶方程能写成

g(y)dy=f(x)dx(2-5)

的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

假定方程(2-5)中的函数g(y)和f(x)是连续的，设y=v(x)是方程(2-5)的解，将它代入(2-5)中得到恒等式

g[v(x)]v'(x)dx=f(x)dx

将上式两端积分，并由y=v(x)引进变量y，得

∫g(y)dy=∫f(x)dx

设G(y)及F(x)依次为g(y)及f(x)的原函数，于是有

G(y)=F(x)+C(2-6)

因此，方程(2-5)的解满足关系式(2-6),反之，如果y=n(x)是由关系式(2-6)所确定的隐函数，那么在g(y)≠0的条件下，y=n(x)也是方程(2-5)的解，事实上，由隐函数的求导法可知，当g(y)≠0时

n'(x)=F'(x)/G'(y)=f(x)/g(y)

通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 特解: 确定了通解中任意常数以后的解初始条件: 用来确定特解的条件初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.一个就是一阶微分方程，三种可解的类型，可分离变量的方程可分离变量微分方程，还有齐次方程，还有一阶线性微分方程，这三种方程你要确实掌握，不管给了你什么样的题，你应该能够准确的做出来。%隐层神经元的权值、阈值与径向基函数的位置和宽度有关,只要隐层神经元数目、权值、阈值正确,可逼近任意函数。第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2009） 一、填空题（每小题5 分，共20 lnln 1516 由方程29 ln 解:方程29 ln 的两边对x求导，得 29 ln 29ln limlim 三、（15分）设函数 limlim 处连续。

列1.求微分方程

dy/dx=2xy(2-7)

的通解

解：方程(2-7)是可分离变量的，分离变量后得

dy/y=2xdx

两端积分

∫dy/y=∫2xdx

得lnlyl=x^2+C1

从而

列2.有高为1m的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1cm^2(图7-3)。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t变化的规律可分离变量微分方程，并求水流完所需的时间。

这里面还要指出的是，我们是通过对微小量dV的分析得到微分方程(2-15)的，这种微小量分析的方法，也是建立方程的一种常用方法。

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利(bernoulli)方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉(euler)方程 微分方程的简单应用。4、会求隐函数方程和参数式方程所确定的函数的一阶、二阶导数或微分。温度系统：其对象容量滞后较大，被控变量受干扰后变化迟缓，一般选用较小的比例度，较大的积分时间，同时要加入微分作用，微分时间是积分时间的四分之一。

下节课我们学习微分方程之齐次方程