复合函数二阶偏导数的巧妙求法AB

２０ ０ ３年１１月第２ ４ 卷第６ 期Ｊｏ ｕ ｍ ａ ｌｏ ｆＧ ｕ ｙ ｕ ａ ｎＴ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓＣ ｏ Ｈ ｅ ｇ ｅ （ Ｎ ａ ｔｕ ｒ ａ Ｉｓｃ ｆ ｅ ｎ ｃ ｅＥ ｄ ｉｔｉｏ ｎ ）Ｖ ｏ ｜． ２４ Ｎ ｏ ． ６固原师专学报（ 自然科学版）Ｎ ｏ ｖ ． ２ ０ ０ ３复合函数二阶偏导数的巧妙求法二一“Ａ ＋ Ｂ ＂。李金龙１张鹏强２（ １． 陕西理工学院数学与计算机科学系， 陕西汉中７ ２３０ ０ ０ ； ２． 勉县一中， 陕西勉县７ ２４ ２０ ０ ）摘要： 给出了一种求复合函数二阶偏导数的简便方法．关键词： 复合函数； 链式法则； 二阶偏导数； 叉乘中图分类号： ０ １５６ ． ４ 文献标识码： Ａ 文章编号： １０ ０ １． ０ ４ ９ “２０ ０ ３Ｊ０６． ００７ ４ 一０２无论是在理论上还是在实际问题中， 我们经常要求复合函数二阶偏导数， 按照通常教科书的方法， 必须要用两次链式法则才能求出二阶偏导数， 用这种方法计算量比较大， 对初学者来说， 往往感到很繁琐， 计算时也容易出错． 在本文中我们将给出一种求复合函数二阶偏导数十分简便的方法． 这种方法只需用一次链式法则， 求出一阶偏导数， 然后通过我们的一些约定， 再进行一些简单的运算， 就可以求出二阶偏导数．。

在本文中我们引入叉乘“× ” 这个符号并对它做如下的一些约定：（ １）设Ｍ ， ｖ 是复合函数外函数ｚ 的中间变量， 且口， ６ 是实数或函数时，（ 口妾）×（ ６窑）＝ （ 口６）（ 赛×害）＝ 口６基，（ 口宝…６宝）“翥’ （ 口宝…６宝）“象．（ ２）叉乘“× ” 还具有通常乘法的性质， 即设， 口， ６， ｃ是实数， 有ｎ × ６： ６× ａ ， 口× （ ６＋ ｃ）＝ 口× ６ ＋ ８ × ｃ 等等．另外我们约定， 本文所涉及的复合函数的外函数和内函数都具有连续的二阶偏导数， 因此， 混合偏导数相等．主要结果ｄ Ⅱｄ ｖｄ “ｄ Ｖｄ 配ｄ ｙ１定理设ｚ＝ ｚ（ ｕ ｌ， Ｍ ２， …， ｕ 。 ）， ｕ ｆ ＝ ＂ｆ （ 菇ｌ， 石２， …， ｚ。 ）， ｚ＝ ｌ， ２， …ｎ ， 则复合函数二＝ ＝ （ 石Ｉ， 省２， …， 茗ｍ ）二阶偏导数的计算公式为： 麦矗＝ Ａ ＋ Ｂ ， （ １≤后≤ｚ≤ｍ ）． 其中Ａ ＝导×要， Ｂ ： 妄警， 而妄窘表示在安的表达式中将中间量毗： （ ｉ： １， ２…乃）看成是ｏ ｘ ｋｏ ｘ ｔｏ ｘ ｔｏ ｘ ｋｏ ｘ ｌ ｏ ％ｋｏ ｘ ｋ’。

常数！然后对戈。 求偏导数．证明曲链式法则知， 蠹＝ 砉蠹罄， 蓦＝ 耋亳瑟然后按照通常求复合函数二阶偏导数的方法得，ａ 色ａ ， § 貌孔ｆ 、§ ａ ， 砚ａ “ｆ 、砒＾孤ｚ—ａ 托ｍ ＆一孤ｆ 、 鲁ａ 配ｆ 孤女７ 一台貌ｌ、 ａ 啦硫☆７ａ ２。－ 收稿日期： ２０ ０ ３． ０ ７ ． １９基金项目： 陕西理工学院重点课程《数学分析》 项目（ ｚ Ｄ ｌ（ ２０ ９ ）作者简介： 李金龙（ １９６１一）， 男， 陕西户县人， 副教授．万方数据第２ ４ 卷第６ 期李金龙， 张鹏强： 复合函数二阶偏导数的巧妙求法——“Ａ ＋ Ｂ 『’７ ５＝ 砉ｃ差叠蠹＋ 叠毫， ＝ 砉ｃ詈砉藩蓍＋ 蠹亳，＝ 砉砉蕞罄瑟＋ 砉蠹急．而Ａ ： 宴×要ｄ ｘ ｔ㈩ｏ 。 ‘ｋ＝ ｃ砉亳襄， ×ｃ砉毒瑟， ＝ 耋砉ｃ蠹篆， ×ｃ毒羞， ＝ 耋砉羲襄蓦，Ｂ ＝ 蓦蠹＝ 蓦ｃ砉蠹瑟， ＝ 耋蠹亳．因此有， Ａ ＋ 曰＝ 骞砉蕞蓑詈＋ 奎亳亳比较（ １）与（ ２）式得， 鑫＝ Ａ ＋ Ｂ． 定理得证．注： 在应用此定理具体求豪时， Ａ 与日中外函数关于中间变量偏导数的具体表达式不要事先求出， 而是用偏导数的符号表示， 通过叉乘后， 再求偏导数， 最后， 将中间变量与自变量关系的具体表达式代人Ａ 与Ｂ 中即可． 这一点要切记１２应用拳例ｃ２，例１： 彳 ＝ “３， Ｈ ＝ ｓ伽（ 町）， 求锄勰： 乏： 老知。

ｓ（ 彤）， 勺＝ 参ｃ。 ｓ（ 彬），Ａ ＝ 毛ｘ勺＝ ［ 扣ｓ（ 形）］ｘ［ 参∞ｓ（ 叫）］ ＝ （ 老×老）彬∞２（ 彬）＝ 嘉卵伽ｓ２（ 彤）＝ ６ｗ ｃｏ ｓ２（ 可）＝ ６拶汛（ 彬）∞ｓ２（ 彤），曰＝ 缸＝ ３Ｈ ２苦［ 弘。 ｓ（ 彤）］＝ ３ｕ２［ 伽（ 可）一菇弘ｉｎ（ 菇， ， ）］＝ ３ｓｆ ｎ ２（ 移）［ ｃＤ ｓ（ 掣）一拶ｉｎ （ 可）］＝ ３ｓｉｎ２（ 戈ｙ）ｃｏｓ（ 彤）． ３舻讥３（ 并ｙ）所以， 锄＝ Ａ ＋ 曰＝ ６ 算弘￡ ｎ （ 彬）ｃ Ｄ ｓ２（ 彬）＋ ３ｓ讥２（ 掣）ｃｏｓ（ 戈， ， ）一３舻ｚｎ３（ 形）．例２： ： ＝ 厂（ 戈＋ ， ， ， 硝， 茗／， ， ）， 求％解： 令Ⅱ ＝ 并＋ ， ， ， 毫７ ＝ 掣， 彬＝ 戈／， ， ， 贝０ｚ， ＝ 工＋ 协＋ （ １／， ， ）兀， 毛＝ ＾＋ 伽＋ （ 一戈／ｙ ２）Ｌ ，Ａ ＝ 毛× 勺＝ ［ 丘＋ ／≯＋ （ １／ｙ ）厶］× ［ 兀＋ ／≯＋ （ 一戈／ｙ ２）厶］＝ 兀×兀＋ 兀×厶＋ 厶×［ （ 一髫／）， ２）无］＋ 工ｙ ×＾＋ 工， ， ×ｍ ＋ 如×［ （ 一戈／， ， ２）厶］＋ ［ （ １／ｙ ）厶］× 正＋ ［ （ １／ｙ ）厶］× － ／≯＋ ［ （ １／ｙ ）厶× （ 一茗／ｙ ２）厶］＝ 工。

＋ ／０ｘ ＋ 兀。 （ 一戈／ｙ ２）＋ 工∥ ＋ ／囊， ， ＋ Ｚ 。 （ 一茗／）， ）＋ 厶。复合偏导数 （ １／ｙ ）＋ Ｚ 。复合偏导数 （ 戈／ｙ ）＋ 厶。 （ 一戈／ｙ ３）＝ ＾。 ＋ 工。 （ 戈＋ ｙ ）＋ ／０ （ １／， ， ２）（ ）， 一戈）＋ ／０ 茹ｙ ＋ ／乙（ 一戈／ｙ ３），Ｂ ＝ 勃＝ 工一（ １／ｙ２）厶．所以， 锄＝ Ａ ＋ Ｂ＝ ／０＋ 工。 （ 石＋ ｙ）＋ 丘。 （ １／ｙ２）（ ）， 一省）＋ 砌＋ ‘， ０（ 一ｚ／）， ３）＋ 工一（ １／ｙ２）厶．参考文献：一，华东师范大学数学系． 数学分析［ Ｍ ］． 第三版． 北京： 高等教育出版社， ２０ ０ １．（ 责任编辑胡茂林）万方数据