2017-2018学年辽宁省沈阳市沈河区九年级（上）期末数学试卷（解析版）(2)

（24题12分、25题12分）24．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．【分析】（1）求出BC=BE，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；（2）求出△FEB≌△ECD，根据全等三角形的性质得出BF=DE即可；（3）延长GE交AB于F，证△GDE∽△FBE，得出比例式，代入即可求出答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22。如图 c是ab的黄金分割点5°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22。5°=67。5°，∵∠DBC=45°，∴∠BEC=180°﹣67。5°﹣45°=67。5°=∠BCE，∴BE=BC=，在Rt△ACD中，由勾股定理得：BD==2，∴DE=BD﹣BE=2﹣；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF=90°，∴∠FEB=∠CEF﹣∠CEB=90°﹣67。5°=22。5°=∠DCE，∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD，∴△FEB≌△ECD，∴BF=DE=2﹣；（3）延长GE交AB于F，由（2）知：DE=BF=2﹣，由（1）知：BE=BC=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴△DGE∽△BFE，∴=，∴=，解得：DG=3﹣4．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F（1）求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；（3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M的横坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点的坐标代入y=ax2+bx﹣3，利用待定系数法即可求得二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则m＞1，分别表示出ME=|﹣m2+2m﹣3|、MN=2m﹣2，由四边形MNFE为正方形知ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得m的值，进而求出正方形的面积；（3）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点M的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则t＜1，则点N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），点D（t，t﹣3），由MD=MN列出方程，根据点M的位置分类讨论求解可得．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．如图，设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，∴ME=|﹣m2+2m+3|，∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，∴点N的横坐标为2﹣m，∴MN=2m﹣2，∵四边形MNFE为正方形，∴ME=MN，∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，分两种情况：①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．（3）设BC所在直线解析式为y=px+q，把点B（3，0）、C（0，﹣3）代入表达式，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3，设点M的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，则点N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），点D（t，t﹣3），∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．∵MD=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t，分两种情况：①当t2﹣3t=2﹣2t时，解得t1=﹣1，t2=2（不符合题意，舍去）．②当3t﹣t2=2﹣2t时，解得t3=，t2=（不符合题意，舍去）．综上所述，点M的横坐标为﹣1或．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，两点间的距离公式等知识，利用数形结合与方程思想是解题的关键．