如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），(2)

求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。

二次函数的三种表达形式：

①一般式：

y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13.。在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。

把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

②顶点式：

a 相等， 抛物线的开口大小、 形状相同. ②平行于 y 轴（或重合） 的直线记作hx =.特别地，y 轴记作直线0=x. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy = 当0>a时 开口向上 当0

有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。

2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标。 ②充分利用几何图形的对称性． 2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标． (2015·广州模拟)如下图所示，已知正四面体a－bcd的棱长为1，e，f分别为棱ab、cd的中点． (1)建立适当的空间直角坐标系，写出顶点a，b，c，d的坐标． (2)求ef的长． [分析]正四面体也是正三棱锥，即其顶点和底面正三角形中心的连线是正四面体的高，以底面正三角形的中心为坐标原点，高为z轴，建立空间直角坐标系．。 1．空间直角坐标系 ●自主预习 定义 以空间中两两________且相交于一点o的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系oxyz，其中点o叫做坐标_______，x轴、y轴、z轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xoy平面、yoz平面、________平面 画法 在平面上画空间直角坐标系oxyz时，一般使∠xoy＝__________，∠yoz＝90° 垂直 原点 坐标轴 坐标平面 zox 135° 图示说明 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______轴的正方向，食指指向______轴的正方向，如果中指指向______轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；

当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象。当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象。当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象。当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象。当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象。

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

③交点式：

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .

已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤：

二次函数

∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),

∴y=ax2+bx+c

=a(x2+b/ax+c/a)

=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]

=a(x-x1)(x-x2).

重要概念：

a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；

a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。

a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；

能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；

能熟练地运用二次函数解决实际问题。

二次函数的其他表达形式：

①牛顿插值公式:

f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

双根式

y=a(x-x1)*(x-x2)

(第 8 题) 8．如图，隧道的截面由抛物线 aed 和矩形 abcd(不含 ad)构成．矩形的长 bc 为 8 m，宽ab 为 2 m．以 bc 所在的直线为 x 轴、线段 bc 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点 e 到坐标原点 o 的距离为 6 m。(2)经过b，c两点的直线交抛物线的对称轴于点d，点p为直线bc上方抛物线上的一动点，当△pcd的面积最大时，q从点p出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点m处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点n处，最后沿适当的路径运动到点a处停止．当点q的运动路径最短时，求点n的坐标及点q经过的最短路径的长。＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是 和 ，这两点的距离为 。

③三点式

已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）

如果n=3，则ema(x，3)=[2*x3+(3-1)*y’]/(3+1)=[2*x3+2*((2/3)*x2+(1/3)*x1)]/4=(1/2)*x3+(1/3)*x2+(1/6)*x1。如果n=3，则ema(x，3)=〔2*x3+(3-1)*y’〕/(3+1)=〔2*x3+2*((2/3)*x2+(1/3)*x1)〕/4=(1/2)*x3+(1/3)*x2+(1/6)*x1。如果n=3，则ema(x，3)=［2*x3+(3-1)*y’］/(3+1)=［2*x3+2*((2/3)*x2+(1/3)*x1)］/4=(1/2)*x3+(1/3)*x2+(1/6)*x1。

与X轴交点的情况

当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。

Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

二次函数解释式的求法：

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

1.巧取交点式法：

知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。

已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。

①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。

例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。

点拨：

解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，

∵过点（2，8），

∴8＝a(2+2)(2-1)。

解得a=2，

∴抛物线的解析式为：

y＝2(x+2)(x-1)，

即y＝2x2+2x-4。

②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。

例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

点拨：

在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

2.巧用顶点式：

顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．

①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。

例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。

点拨：

解∵顶点坐标为（-1，-2），

故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。

把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。

∴a=3。

∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。

②典型例题二：

如果a>0，那么当 时，y有最小值且y最小=；

如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。

告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。

例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

点拨：

析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。

在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13.。（2）根据题意可判断出一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和，代入二次函数解析式可求出交点坐标，代入一次函数解析式可得出k与n的值，继而得出一次函数解析式．（3）先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为－3得出b与a关系，再根据一元二次方程2ax+bx+q=0有实数根可得到关于q的不等式，求出q的取值范围即可．解答：解：（1）由二次函数的图象可知：二次函数的顶点坐标为（1，－3），∵二次函数的对称轴方程为x=1，∴二次函数与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），于是得到方程组，。

∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。如图 二次函数图像的顶点为坐标原点o

故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。

将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．

∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。

③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。

例如：

（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.

（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.

（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.

（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。

例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。

点拨：

解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。

∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，

∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。