如图.已知二次函数图象的顶点坐标为C(1.1).直线y=kx

已知二次函数图像的顶点坐标c已知二次函数图像的顶点坐标c

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（，），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．

（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；

（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

北京模拟) 在同一坐标系中，函数y ＝2 x 与 与y＝ ＝12x 的图象之间的关系是的图象之间的关系是( ) y x a ． 关于y 轴对称b ． 关于x 轴对称c ．关于原点对称d ．关于直线y ＝x 对称 解析：∵ ∵y＝ ＝ 12x ＝2－ x ， &there4。在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。解：y＝2x2－12x＋5＝2(x－3)2－13，顶点坐标为(3，－13)，其图象关于x轴对称的顶点坐标为(3，13)，所以对称后的图象的解析式为y＝－2(x－3)2＋13.。

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在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；

（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切；

（2）若点h的坐标为（-1，-1），动点g从b出发，以1个单位/秒的速度沿着bc边向c点运动（点g可以与点b或点c重合），求△hge的面积s（s≠0）随动点g的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）。学生通过观察和思考后很快就告诉了我是随着长和宽的变化而变化的，在此基础上我又接着问：假如矩形oedc的面积为y，oe=x，用z+z超级画板显示点d在ab上运动时x的值和相应的矩形面积，动点(x，y)的轨迹即是x和y之间的函数图像，并单独演示取得最大值时的图形，这样学生也很容易利用二次函数的知识得出面积的最大值.然后我又分别设计了下面两个变式题：。若ad be，则△a′de的面积是_________.15.如图，在rt△abc中，∠acb 90°∠b 30°，bc 3，点d是bc边上一动点（不与点b、c重合），过点d作de⊥bc交ab边于点e，将∠b沿直线de翻折，点b落在射线bc上的点f处，当△aef为直角三角形时，bd的长为__________.16.（8分）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值。

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在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）（t，b均为非零常数）．平移二次函数y=-tx2的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（|OB|＜|OC|）．连接AB．

（1）是否存在这样的抛物线F，使得|OA|2=|OB|•|OC|？请你作出判断，并说明理由；

（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式．

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如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E．

（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；

（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；

（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x，△PBE的面积为y．

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．

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已知一元二次方程x2-4x-5=0的两个实数根为x1、x2，且x1＜x2．若x1、x2分别是抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点A、B的横坐标（如下图所示）．

（1）求该抛物线的解析式；

设二次函数的图象与轴交另一点,则二次函数图象上是否存在点(其中)使四边形的面积最大,若存在,求出点的坐标和四边形面积最大值。抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程 中，当y=0时，x=0，因此抛物线 的顶点就是坐标原点．。如图，抛物线y= –2x2+bx+c与x轴分别相交于点a（–2，0）、b（4，0），与y轴交于点c，顶点为点p. （1）求抛物线的解析式。

（3）是否存在直线y=kx（k＞0）与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

[注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（）]．

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如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；

（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

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如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

如图，抛物线y= –2x2+bx+c与x轴分别相交于点a（–2，0）、b（4，0），与y轴交于点c，顶点为点p. （1）求抛物线的解析式。25．（8分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=－x－（m－1）x+m－6交x轴负半轴于点a，交y轴正半轴于点b（0，3），顶点c位于第二象限，连接ab，ac，bc．（1）求抛物线的解析式。当aq=eq时，可知∠qae=∠qea=45°，∴ae⊥bc．∴点e是bc的中点．∴be=．综上，在∠def运动过程中，△aeq能成等腰三角形，此时be的长为或．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理利用相似三角形的性质和全等三角形的性质是关键．25．（8分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=－x－（m－1）x+m－6交x轴负半轴于点a，交y轴正半轴于点b（0，3），顶点c位于第二象限，连接ab，ac，bc．（1）求抛物线的解析式。

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

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（1）如图，A1，A2，A3是抛物线y=x2图象上的三点，若A1，A2，A3三点的横坐标从左至右依次为1，2，3．求△A1A2A3的面积．

（2）若将（1）问中的抛物线改为y=x2-x+2和y=ax2+bx+c（a＞0），其他条件不变，请分别直接写出两种情况下△A1A2A3的面积．

解析：要求抛物线平移的函数解析式，需要将函数y＝2x2－4x＋1化成顶点式，然后根据顶点坐标的变换求抛物线平移后的解析式．。 (3)求面aa1b1b对角线交点的坐标． 空间点的坐标及位置确定 ●互动探究 规律总结：空间中点m坐标的确定方法： (1)由点m分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交三个坐标轴于点p，q和r，设这三个点在三个轴上的坐标分别是x、y、z，则点m的坐标即为(x，y，z)。如图,作矩形,使过点,点是边上的一动点,连接,作交于点.设线段的长为,线段的长为.当点运动时,求与的函数关系式并写出自变量的取值范围,在同一直角坐标系中,该函数的图象与图的抛物线中的部分有何关系。

（4）在（3）问条件下，当n＞10时有Sn-10+Sn-9+Sn-8+…Sn的值不小于，请探求此条件下正整数n是否存在最大值？若存在，请求出此值；若不存在，请说明理由．

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如图，点D，E分别是矩形OABC中AB和BC边上的中点，点B的坐标为（6，4）

（1）写出A，C，E，D四点的坐标；并判断点O到直线DE的距离是否等于线段的OE长；

（2）动点m、n从点o同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段ob、oc上向点b、c方向运动，过点m作x轴的垂线交bc于点f，交抛物线于点h. ①当四边形omhn为矩形时，求点h的坐标。(2)经过b，c两点的直线交抛物线的对称轴于点d，点p为直线bc上方抛物线上的一动点，当△pcd的面积最大时，q从点p出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点m处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点n处，最后沿适当的路径运动到点a处停止．当点q的运动路径最短时，求点n的坐标及点q经过的最短路径的长。点评：本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，关键是求出b的值，题目比较好，难度适中，也可以根据根与系数的关系，设另一个根是a，则a+1=－1，求出a=－2．10．（4分）点a（x1，y1）、b（x2，y2）在二次函数y=x－2x－1的图象上，若x2＞x1＞1，则y1与y2的大小关系是y1＜y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1，再根据二次函数图象上的点，x＜1时，y随x的增大而减小解答．22解答：解：∵y=x－2x－1=（x－1）－2，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∵x2＞x1＞1，∴y1＜y2．故答案为：＜．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．。

（3）我们给出如下定义：分别过抛物向上的两点（不在x轴上）作x轴的垂线，如果以这两点及垂足为顶点的矩形在这条抛物线与x轴围成的封闭图形内部，则称这个矩形是这条抛物线的内接矩形，请你理解上述定义，解答下面的问题：若矩形OABC是某个抛物线的周长最大的内接矩形，求这个抛物线的解析式（利用图2解答）．

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