充分条件 专题检测（十三）点、直线、平面之间的位置关系A卷——夯基保分(3)

B卷——大题增分专练1．(2017·全国卷)如图，在四棱锥P??ABCD中，ABCD，且BAP＝CDP＝90°。(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，APD＝90°，且四棱锥P??ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．解：(1)证明：由BAP＝CDP＝90°，得ABAP，CDPD。因为ABCD，所以ABPD。又AP∩PD＝P，所以AB平面PAD。又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD。(2)如图所示，在平面PAD内作PEAD，垂足为E。由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD。设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x。故四棱锥P??ABCD的体积VP??ABCD＝AB·AD·PE＝x3。由题设得x3＝，故x＝2。从而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2。可得四棱锥P??ABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2。2．(2017·北京高考)由四棱柱ABCD??A1B1C1D1截去三棱锥C1??B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD。

(1)证明：A1O平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1。证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，因为ABCD??A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C，因为O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1。(2)因为E，M分别为AD，OD的中点，所以EMAO。因为AOBD，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E平面A1EM，EM平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1。3．(2017·泰安模拟)如图，在正四棱柱ABCD??A1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1的中点．(1)求证：A1F平面ECC1；(2)在CD上是否存在一点G，使BG平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，在正四棱柱ABCD??A1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM，所以B1FBM且B1F＝BM，所以四边形B1FMB是平行四边形，所以FMB1B且FM＝B1B。

因为B1BA1A且B1B＝A1A，所以FMA1A且FM＝A1A，所以四边形AA1FM是平行四边形，所以A1FAM。因为E为AD的中点，所以AEMC且AE＝MC。所以四边形AMCE是平行四边形，所以CEAM，所以CEA1F。因为A1F平面ECC1，EC平面ECC1，所以A1F平面ECC1。(2)在CD上存在一点G，使BG平面ECC1。证明如下：取CD的中点G，连接BG。在正方形ABCD中，DE＝GC，CD＝BC，ADC＝BCD，所以CDE≌△BCG，所以ECD＝GBC。因为CGB＋GBC＝90°，所以CGB＋DCE＝90°，所以BGEC。因为CC1平面ABCD，BG平面ABCD，所以CC1BG。又EC∩CC1＝C，所以BG平面ECC1。故当G为CD的中点时，满足BG平面ECC1。4．(2017·郑州第二次质量预测)如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1。现将AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，连接AB，AC。(1)在AB边上是否存在点P，使AD平面MPC?(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离．解：(1)当AP＝AB时，有AD平面MPC。理由如下：连接BD交MC于点N，连接NP。

在梯形MBCD中，DCMB，＝＝，在ADB中，＝，AD‖PN。∵AD??平面MPC，PN平面MPC，AD‖平面MPC。(2)平面AMD平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD＝DM，AMDM，AM⊥平面MBCD。VP??MBC＝×SMBC×＝××2×1×＝。在MPC中，MP＝AB＝，MC＝，又PC＝ ＝，S△MPC＝×× ＝。点B到平面MPC的距离为d＝＝＝。