用弧长公式表示扇形面积公式_弧长公式_扇形的面积公式

《圆》提高测试 （一）选择题： （每题 2 分，共 20 分） 1．有 4 个命题： ①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧； ③圆中最大的弧是过圆心的弧；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧． 其中真命题是???????????????????????????（ ） （A）①③ （B）①③④ （C）①④ （D）① 【提示】长度相等的两弧不一定是等弧，故②不对；当弦是直径时，直径把圆分为两个半圆，它们是等弧，故④不对． 【答案】A． 【点评】本题考查等圆、等弧、直线与弦的概念．注意：等弧是能互相重合的两条弧，直径是圆中最大的弦． 2．如图，点 I 为△ABC 的内心，点 O 为△ABC 的外心，∠O＝140°，则∠I 为（ ） （A）140° （B）125° （C）130° （D）110° 【提示】因点 O 为△ABC 的外心，则∠BOC、∠A 分别是 ?140°＝70°．又因为 I 为△ABC 的内心，所以 ∠I＝90°＋ 所对的圆心角、圆周角，所以∠O＝2∠A，故∠A＝1 21 2∠A＝90°＋1 2?70°＝125°．【答案】B． 【点评】本题考查圆心角与圆周角的关系，内心、外心的概念．注意三角形的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式． 3．如果正多边形的一个外角等于 60°，那么它的边数为???????????（ ） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 【提示】正多边形的外角等于它的中心角，所以 【答案】C． 【点评】此题考查正多边形的外角与中心角的关系．注意：正 n 边形的中心角为360 ? ＝60°，故 n＝6． n 360 ? ，且等于它的一个外角． n）4．如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 是弦 AB 上一点，且 BC∶CA＝2∶1，连结 OC 并延长 交⊙O 于 D，又 DC＝2 厘米，OC＝3 厘米，则圆心 O 到 AB 的距离为????（ （A）6 厘米（B）7 厘米（C）2 厘米（D）3 厘米【提示】延长 DO 交⊙O 于 E，过点 O 作 OF⊥AB 于 F，则 CE＝8 厘米． 由相交弦定理，得 DC?CE＝AC?CB， 所以 AC?2 AC＝2?8， ， 2 （厘米） 从而 BC＝4 2 厘米． 故 AC＝2 由垂径定理，得1 （2 2 ＋4 2 ） ＝3 2 （厘米） ． 2 所以 CF＝3 2 －2 2 ＝ 2 （厘米） ．AF＝FB＝ 在 Rt△COF 中， OF＝OC2 ? OF 2＝32 ? ( 2 ) 2＝． 7 （厘米）【答案】C． 【点评】本题考查相交弦定理、垂径定理．注意：在圆中求线段的长，往往利用相交弦定理、垂径定理进行线段的转换，再结合勾股定理建立 等式． 5．等边三角形的周长为 18，则它的内切圆半径是??????????????（ ） （A）63（B）33（C）3（D）3 3【提示】等边三角形的边长为 6，则它的面积为 93 2 ?6 ＝9 3 ．又因为三角形的面积等于内切圆的半径与三角形的周长的积的一半，所以 43＝1 2r?18（r 为内切圆半径） ．解此方程，得 r＝ 3 ． 【答案】C． 【点评】本题考查等边三角形的面积的求法、内切圆半径的求法．注意：求三角形的内切圆的半径，通常用面积法． 6．如图，⊙O 的弦 AB、CD 相交于点 P，PA＝4 厘米，PB＝3 厘米，PC＝6 厘米，EA 切⊙O 于点 A，AE 与 CD 的延长线交于点 E，AE＝2 米，则 PE 的长为（ ） 15厘（A）4 厘米（B）3 厘米（C）5 4厘米（D）2 厘米【提示】由相交弦定理，得 PA?PB＝PD?PC． ∴ 4?3＝PD?6． ∴ PD＝2（厘米） ． 由切割线定理，得 AE2＝ED?EC． ∴ （2 ．解此方程得 5 ）2＝ED ?（ED＋2＋6） ED＝2 或 ED＝－10（舍去） ． ∴ PE＝2＋2＝4（厘米） ． 【答案】A． 【点评】本题考查相交弦定理、切割线定理．注意：应用相交弦定理、切割线定理往往建立方程，通过解方程求解． 7．一个扇形的弧长为 20??厘米，面积是 240??厘米 2，则扇形的圆心角是?????（ ） （A）120° （B）150° （C）210° （D）240°? nπ R ? 20π ? ?R ? 24 ? 180 【提示】设扇形的圆心角为 n 度，半径为 R，则 ? 解方程组得 ? 2 ?n ? 150． ? nπ R ? 240 ? ? 360【答案】B． 【点评】本题考查扇形的弧长、面积公式．注意：应熟记扇形的弧长公式、扇形的面积公式． 8．两圆半径之比为 2∶3，当两圆内切时，圆心距是 4 厘米，当两圆外切时，圆心距为（ ） （A）5 厘米 （B）11 厘米 （C）14 厘米 （D）20 厘米 【提示】设两圆半径分别为 2 x、3 x 厘米，则内切时有 3 x－2 x＝4，所以 x＝4．于是两圆半径分别为 8 厘米、12 厘米．故外切时圆心距为 20 厘米． 【答案】D． 【点评】本题考查两圆内切、外切时，圆心距与两圆半径的关系．注意：要理解并记忆两圆的五种位置关系及圆心距与半径的关系． 9．一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆周角是??（ ） （A）60° （B）90° （C）120° （D）180° 【提示】设圆锥的母线长为 a，圆心角度数为 n，底面圆的半径为 r，则? nπa 2 ? 2 ? πr 2 ? ? 360 ? ? nπa ? 2 πr． ? ? 180解此方程组，得 n＝180． 【答案】D． 【点评】此题考查圆锥的侧面展开图的概念．注意理解圆柱、圆柱的侧面展开图的有关概念． 10．如图，等腰直角三角形 AOB 的面积为 S1，以点 O 为圆心，OA 为半径的弧与以 AB 为直径的半圆围成的图形的面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是?????????（ ） （A）S1＞S2 （B）S1＜S2 （C）S1＝S2 （D）S1≥S2【提示】设 OA＝a，则 S1＝1 2 1 1 a ，弓形 ACB 的面积＝ ?a2－ a2． 2 4 2 在 Rt△AOB 中，AB＝ 2 a，则以 AB 为直径的半圆面积为 1 AB 2 1 1 1 2 2 1 2 ???（ ） ＝ ??（ a） ＝ ?a ．则 S2＝ ?a2－（ 2 2 2 4 4 4 22?a2－1 2a2）＝1 2a2．【答案】C． 【点评】本题考查三角形、圆、弓形的面积计算．注意：弓形的面积计算方法．（二）填空题（每题 2 分，共 20 分） 11．已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 2 和 3，两圆相交于点 A、B，且 AB＝2，则 O1O2＝______．【提示】当两圆在 AB 的两侧时，设 O1O2 交 AB 于 C，则 O1O2⊥AB，且 AC＝BC， ∴ AC＝1． 在 Rt△AO2C 中，O2C＝ 在 Rt△AO1C 中，O1C＝ ∴ O1O2＝2O2 A 2 ? AC 2O1 A 2 ? AC 2＝ ＝32 ?1 ＝2 2 ；2 2 ? 12＝3．2＋ 3． 2－ 3．当两圆在 AB 的同侧时，同理可求 O1O2＝2【答案】2 2 ± 3 ． 【点评】此题考查“两圆相交时，连心线垂直于公共弦”的应用．注意：在圆中不要漏解，因为圆是轴对称图形，符合本题条件的两圆有两种 情形． 12．已知四边形 ABCD 是⊙O 的外切等腰梯形，其周长为 20，则梯形的中位线长为_____． 【提示】圆外切四边形的两组对边之和相等，则上、下底之和为 10，故中位线长为 5． 【答案】5． 【点评】本题考查圆外切四边形的性质．注意：本题还可求得圆外切等腰梯形的腰长也为 5，即等于中位线长． 13．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O 过 A、B 两点，且与 BC 切于点 B， 与 AC 交于 D，连结 BD，若 BC＝ 【提示】在△ABC 中，AB＝AC， 则 ∠ABC＝∠ACB＝72°， ∴ ∠BAC＝36°． 又 BC 切⊙O 于 B， ∴ ∠A＝∠DBC＝36°． ∴ ∠BDC＝72°． ∴ ∠ABD＝72°－36°＝36°． ∴ AD＝BD＝BC． 易证△CBD∽△CAB， ∴ BC 2＝CD?CA． ∵ AD＝BD＝BC， ∴ CD＝AC－AD＝AC－BC． ∴ BC2＝（AC－BC）?CA． 解关于 AC 的方程，得 AC＝5 －1，则 AC＝______．2 BC． 5 ?1∴AC＝2 ?（ 5 －1）＝2． 5 ?1【答案】2． 【点评】本题考查弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质．注意底角为 72°的等腰三角形的特殊性，底角的平分线把对边分成的两 线段的比为5 ?1 ，即成黄金比． 2厘米14．用铁皮制造一个圆柱形的油桶，上面有盖，它的高为 80 厘米，底面圆的直径为 50 厘米，那么这个油桶需要铁皮（不计接缝） 2 （不取近似值） ． 【提示】铁皮的面积即圆柱的侧面积与两底的面积的和．底面圆面积为1 4??502＝625?（厘米 2） ，底面圆周长为??50＝50?（厘米） ，则铁皮的面2?625?＋80?50?＝5250?（厘米 2） ． 【答案】5250?厘米 2． 【点评】本题考查圆柱的侧面展开图的面积及圆柱的表面积．注意：圆柱的表面积等于侧面积与两底面积之和． 5．已知两圆的半径分别为 3 和 7，圆心距为 5，则这两个圆的公切线有_____条． 【提示】∵ 7－3＜5＜7＋3， ∴ 两圆相交， ∴ 外公切线有 2 条，内公切线有 0 条． 【答案】2． 3【点评】本题考查两圆的位置关系及对应的圆心距与两圆半径的关系．注意：仅仅从 5＜7＋3 并不能断定两圆相交，还要看 5 与 7－3 的大小关系． 16．如图，以 AB 为直径的⊙O 与直线 CD 相切于点 E，且 AC⊥CD，BD⊥CD， AC＝8 cm，BD＝2 cm，则四边形 ACDB 的面积为______． 【提示】设 AC 交⊙O 于 F，连结 BF． ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠AFB＝90°． 连结 OE，则 OE⊥CD， ∴ AC‖OE‖BD． ∵ 点 O 为 AB 的中点， ∴ E 为 CD 的中点． ∴ OE＝1 2（BD＋AC）＝1 2（8＋2）＝5（cm） ．∴ AB＝2?5＝10（cm） ． 在 Rt△BFA 中，AF＝CA－BD＝8－2＝6（cm） ，AB＝10 cm， ∴ ∴ BF＝ 10 ? 6 ＝8（cm） ． 四边形 ACDB 的面积为2 21 2（2＋8）?8＝40（cm2） ．【答案】40 cm2． 【点评】本题考查直径的性质、中位线的判定与性质、切线的性质．注意：在圆中不要忽视直径这一隐含条件． 17．如图，PA、PB、DE 分别切⊙O 于 A、B、C，⊙O 的半径长为 6 cm，PO＝10 cm， 则△PDE 的周长是______． 图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8， 【提示】连结 OA，则 OA⊥AP． 在 Rt△POA 中，PA＝ OP ? OA ＝ 10 ? 6 ＝8（cm） ． 由切线长定理，得 EA＝EC，CD＝BD，PA＝PB， ∴ △PDE 的周长为 PE＋DE＋PD ＝PE＋EC＋DC＋PD， ＝PE＋EA＋PD＋DB ＝PA＋PB＝16（cm） ． 【答案】16 cm． 【点评】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换． 18．一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等，则此正方形与正六边形的面积之比为_______．2 2 2 2【提示】 设两正多边形的外接圆半径为 R， 则正方形面积为 4?1 2?R2＝2 R2， 正六边形的面积为 6?3 2 3 3 R2， R＝ 所以它们的比为 2 R2： 2 43 3 R2＝4 3 ∶9． 2 【答案】4 3 ∶9．【点评】本题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系．注意：正多边形的面积通常化为 n 个三角形的面积和． 19．如图，已知 PA 与圆相切于点 A，过点 P 的割线与弦 AC 交于点 B，与圆相交于点 D、 E，且 PA＝PB＝BC，又 PD＝4，DE＝21，则 AB＝______．【提示】由切割线定理，得PA2＝PD?PE．∴ PA＝ 4 ? 25 ＝10． ∴ PB＝BC＝10． ∵ PE＝PD＋DE＝25， ∴ BE＝25－10＝15． ∴ DB＝21－15＝6． 由相交弦定理，得 AB?BC＝BE?BD． ∴ AB?10＝15?6． ∴ AB＝9． 4【答案】9． 【点评】本题考查切割线定理与相交弦定理的应用，要观察图形，适当地进行线段间的转化． 20．如图，在□ABCD 中，AB＝4 分的面积为_______． 【提示】连结 OE、DE． ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴3 ，AD＝2 3 ，BD⊥AD，以 BD 为直径的⊙O 交 AB 于 E，交 CD 于 F，则□ABCD 被⊙O 截得的阴影部 3，AD⊥BD，且 AB＝4 3 ，AD＝2 ∠DBA＝30°，且 BD＝6． BD 为直径， ∠DEB＝90°． DE＝BD?sin 30°＝6? S△DEB＝1 21 2?31 3 ＝3，BE＝6? ＝3 3 ． 2 2 9 3 ?3＝ 3． 2 9 4O 为 BD 的中点， S△BOE＝ DO＝ S△DEB＝3．1 2BD＝3，∠DOE＝2?30°＝60°，S 阴影＝2（S△ADB－S 扇形 DOE－S△EOB）＝2（ ＝1 2?23 ?6－60 9 ??32－ 360 4． 3）15 2【答案】 3 －3?．15 3 ? 3π ． 2【点评】本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识．注意：求不规则图形面积，往往转化为规则图形的面积的和或差的形式． （三）判断题（每题 2 分，共 10 分） 21．点 A、B 是半径为 r 的圆 O 上不同的两点，则有 0＜AB≤2 r??????（ ） 【答案】√． 【点评】因为直径是圆中最大的弦，则判断正确． 22．等腰三角形顶角平分线所在直线必过其外接圆的圆心??????????（ ） 【答案】√． 【点评】因为等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，根据垂径定理的推论知，顶角平分线所在直线必过圆心． 23．直角梯形的四个顶点不在同一个圆上?????????????????（ ） 【答案】√． 【点评】若在同一个圆上，则对角互补，故四个角全为直角．所以假设不成立，原命题成立． 24．等边三角形的内心与外心重合????????????????????（ ） 【答案】√． 【点评】等腰三角形的顶角的平分线也是对边的中线与高，因此等边三角形的内心与外心重合． 25．两圆没有公共点时，这两个圆外离?????????????????（ ） 【答案】?． 【点评】两圆没有公共点时，既可以是外离，也可以是内含，所以原命题不成立． （四）解答题与证明题（共 50 分） 26． （8 分）如图，△ABC 内接于⊙O，AB 的延长线与过 C 点的切线 GC 相交于点 D， BE 与 AC 相交于点 F，且 CB＝CE，求证： （1）BE‖DG； （2）CB2－CF2＝BF?FE． 【提示】 （1）证明利用弦切角定理进行角之间的转化可证∠E＝∠GCE；把（2）变形为 CB2＝CF2＋BF?FE． ∵ BF?FE＝CF?AF， ∴ CF2＋BF?FE＝CF2＋CF?AF ＝CF（CF＋AF） ＝CF?CA． 即只要证 CB2＝CF?CA 即可，只需证△CBF∽△CAB． 【略证】 （1）∵ CG 为⊙O 的切线， ∴ ∠EBC＝∠GCE． ∵ CB＝CE，∴ ． ∴ ∠EBC＝∠E． ∴ ∠E＝∠GCE． ∴ GC‖EB． （2）∵ ∠EBC＝∠E＝∠A，∠FCBO 为公共角， ∴ △CBF∽△CAB． ∴ CB2＝CF?CA＝CF?（CF＋AF）＝CF2＋CF?AF． 由相交弦定理，得 CF?FA＝BF?FE， ∴ CB2＝CF2＋BF?FE．即 CB2－CF2＝BF?FE． 【点评】 对于形如 a2＝cd＋ef 的等式的证明较困难， 因不易找到突破口． 一般先把待证明的等式进行变形， 以便于看出等式中线段之间的联系． 如 本题中，先把 CF2 移到等式的右边去，再结合相交弦定理找出了思路． 27． （8 分）如图，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，且 MB∶MA＝1∶4， 求工件半径的长． 【提示】把 OM 向两方延长，交⊙O 于点 C、D．设⊙O 的半径为 R，则可用相交弦定理求半径长． 5【略解】把 OM 向两方延长，分别交⊙O 于 C、D 两点．设⊙O 的半径为 R． 从图中知，AB＝15 cm． 又 MB∶MA＝1∶4， ∴ MB＝1 ?15＝3（cm） ，MA＝12 cm． 5从图中知，CM＝R＋8，MD＝R－8， 由相交弦定理，得 AM?BM＝CM?MD． ∴ 12?3＝（R＋8） （R－8） ． 解此方程，得 R＝10 或 R＝－10（舍去） ． 故工件的半径长为 10 cm． 【点评】此题是一道实际问题，要善于把实际问题转化为数学问题，因在圆中，OM 与 AB 相交，故向相交弦定理转化． 28． （8 分）已知：如图（1） ，⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，经过 A 点的直线分别交⊙O1、⊙O2 于 C、D 两点（C、D 不与 B 重合） ，连结 BD， 过点 C 作 BD 的平行线交⊙O1 于点 E，连 BE． （1）求证：BE 是⊙O2 的切线； （2）如图（2） ，若两圆圆心在公共弦 AB 的同侧，其他条件不变，判断 BE 和⊙O2 的位置关系（不要求证明） ． 【提示】 （1）过 B 作⊙O2 的直径 BH，连结 AB、AH，证∠EBH＝90°． （2）用类似的方法去探求． 【证明】 （1）连结 AB，作⊙O2 的直径 BH，连结 AH． 则 ∠ABH＋∠H＝90°，∠H＝∠ADB，∠EBA＝∠ECA． ∵ EC‖BD， ∴ ∠ADB＝∠ACE＝∠EBA． ∴ ∠EBA＋∠ABH＝90°． 即 ∠EBH＝90°． ∴ BE 是⊙O2 的切线． （2）同理可知，BE 仍是⊙O2 的切线．【点评】证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半径（或直径） ，再证直径与半径垂直，但此题已知条件中无 90°的 角，故作直径构造 90°的角，再进行角的转换．同时两圆相交，通常作它们的公共弦，这样把两圆中的角都联系起来了．另外，当问题进行了 变式时，要学会借鉴已有的思路解题． 29． （12 分）如图，已知 CP 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 C，AB 切⊙O 于点 D，并 与 CP 的延长线相交于点 B，又 BD＝2 BP． 求证： （1）PC＝3 PB； （2）AC＝PC．【提示】 （1）因为 BC＝BP＋PC，所以要证 PC＝3 BP，即要证 BC＝4 BP，用切割线定理进行转化． （2）要证 AC 等于⊙O 的直径，即要证 AC ＝2?半径．只要连结 OD，易证△BOD∽△BAC．可利用相似三角形的性质证明结论． 【略证】 （1）∵ BD 是⊙O 的切线，BPC 是⊙O 的割线， ∴ BD2＝BP?BC． ∵ BD＝2 BP，∴ 4 BD2＝BP?BC． ∴ 4 BP＝BC．∵ BC＝BP＋PC， ∴ 4 BP＝BP＋PC．∴ PC＝3 BP． （2）连结 DO． ∵ AB 切⊙O 于点 D，AC 切⊙O 于点 C， ∴ ∠ODB＝∠ACB＝90°． ∵ ∠B＝∠B，∴ △ODB∽△ACB． ∴DO AC＝BD 2 BP ＝ BC 4 BP＝1 2．∴ AC＝2 DO．∴ PC＝2 DO．∴ AC＝PC． 【点评】此题体现了圆幂定理和切线性质定理的应用，解题的关键是善于转化． 30． （14 分）如图，已知 O 是线段 AB 上一点，以 OB 为半径的⊙O 交线段 AB 于点 C， 以线段 OA 为直径的半圆交⊙O 于点 D，过点 B 作 AB 垂线与 AD 的延长线交于点 E， 连结 CD．若 AC＝2，且 AC、AD 的长是关于 x 的方程 x2－kx＋4 （1）证明 AE 切⊙O 于点 D； 65 ＝0 的两个根．（2）求线段 EB 的长； （3）求 tan ∠ADC 的值． 【提示】连结 OD、BD． （1）证∠ODA＝90°即可； （2）利用切割线定理，结合一元二次方程根与系数的关系求 BE 的长； （3）利用相似三角 形的比进行转化． （1 ） 【略证】连结 OD． ∵ OA 是半圆的直径，∴ ∠ADO＝90°．∴ AE 切⊙O 于点 D． （2 ） 【略解】∵ ∴ ∴ AD＝4 AC、AD 的长是关于 x 的方程 x2－kx＋45 ＝0 的两个根，且 AC＝2，AC?AD＝2 5 ，5 ．∵AD 是⊙O 的切线，ACB 为割线，又AD2＝AC?AB．又 AD＝2 5 ，AC＝2，∴ AB＝10． 则 BC＝8，OB＝4．∵ BE⊥AB， ∴ BE 切⊙O 于 B． AE 切⊙O 于点 D，∴ ED＝EB． 在 Rt△ABE 中，设 BE＝x，由勾股定理，得 （x＋2 解此方程，得即 BE 的长为 4 （3）连结 BD，有∠CDB＝90°． ∵ AD 切⊙O 于 D， ∴5 ）2＝x2＋102． x＝4 5 ． 5．CD ． BD∠ADC＝∠ABD，且 tan ∠ADC＝tan ∠ABD＝在△ADC 和△ABD 中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ABD， ∴ △ADC∽△ABD． ∴DC BD＝AD AB＝∴tan ∠ADC＝2 5 5 ＝ ． 10 5 5 ． 57