抛物线,焦点弦_抛物线焦点弦是什么_抛物线焦点弦结论常用
有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线y2?2px(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点
结论1：AB?x1?x2?p
pp
)?(x2?)?x1?x2?p 22
2p
结论2：若直线L的倾斜角为?，则弦长AB?
sin2?AB?AF?BF?(x1?
证: (1)若??(2)若??
?
2
时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,?AB?2p?结论得证
?
2
时,设直线L的方程为：y?(x?
pp
)tan?即x?y?cot?? 代入抛物线方程得22
y2?2py?cot??p2?0由韦达定理y1y2??p2,y1?y2?2pcot?
由弦长公式得AB??cot?y1?y2?2p(1?cot?)?结论3： 过焦点的弦中通径长最小
2
2
2p
2
sin?
?sin2??1?
2p
?2p ?的最小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短.
sin2?
S2?oABp3
结论4： ?(为定值)
AB8
11OF?BF?sin??OF?AF?sin?22
111p2pp2
?OF??AF?BF?sin??OF?AB?sin????2?sin??
2222sin?2sin?2S?P3OAB??
AB8
S?OAB?S?OBF?S?0AF?
p2
结论5： (1) y1y2??p (2) x1x2=
4
2
y1y2(y1y2)2P2
证?x1?,x2?,?x1x2??2
2p2p44P
22
结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1，过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM1?
AA1?BB1
2
?
AF?BF
2
?
AB2
故结论得证
结论7：连接A1F、B1 F 则 A1F?B1F
?AA1?AF,??AA1F??AFA1?AA1//OF??AA1F??A1FO??A1FO??A1FA
同理?B1FO??B1FB??A1FB1?90??A1F?B1 F 结论8：（1）AM1?BM1 （2）M1F?AB （3）M1F
2
?AF?BF
（4）设AM1 与A1F相交于H ，M1B与 FB1相交于Q 则M1，Q，F ，H四点共圆 （5）AM1
2
?M1B?4M1M
22
证：由结论（6）知M1 在以AB为直径的圆上? AM1?BM1
??A1FB1为直角三角形， M1 是斜边A1 B1 的中点 ?A1M1?M1F??M1FA1??M1A1F??AA1F??AFA1
??AA1F??FA1M1??AA1M1?90? ??AFA1??A1FM1?90?
?M1F?AB
2
?M1F
?AF?BF ? AM1?BM1 ??AM1B?90?又?A1F?B1F
2
??A1FB1?90? 所以M1，Q，F,H四点共圆，AM1
?AF?BF
?M1B?AB
2
22
????AA
2
1
?BB1???2MM1??4MM1
2
2
结论9： （1）A、O、B1 三点共线 （2）B，O，A1 三点共线
（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴
（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴
证：因为koA?
y1yy2y2p?12?,koB1?2??2，而y1y2??p2
px1y1py1
?22p2y22p
（3）（4） ???koB1所以三点共线。抛物线,焦点弦同理可征（2）2
p?p
y2
所以koA?
结论10：
112?? FBp
证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为
L的倾斜角为? E,因为直线
则ER?EF?FR?P?AFcos??AF?AF?
P11?cos?
? ?
1?cos?AFP
同理可得
11?cos?112
????
BFPFAFBp
结论11：
AFAE
? (3) KAE?KBE?0(1) 线段 EF平分角?PEQ (2)
BFBE
(4) 当? ?
?
2
时 AE?BE , 当? ?
?
2
时 AE不垂直于BE
证:?BB1//EF//AA1?
B1EEA1
?
BFFA
?BF?B1B,?A1A?
B1EEA1
?
B1BA1A
??AA1E??BB1E?90???A1EA相似于?B1EB ??A1EA＝?B1EB
??AEF＋?A1EA＝?BEF＋?B1EB＝90???AEF＝?BEF即EF平分角?PEQ
?
BF
?
AEBE
?直线AE和直线BE关于X轴对称?KAE＋KBE＝0
(4)当? ? 当??
?
2
时，AF＝EF＝FB ??AEB＝90?
?
?p?
时，设直线L的方程为y?k?x-? 将其代入方程y2?2px
2?2?
2
2
k2p2pk2?2
得kx-p(k?2)x??0 设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1?x2? 2
4k
2
??
y1y2p2
???1 x1x2= 假设AE?BE则 KAE?KBE＝－1 ?
pp4x1?x2?22
p??p?p??p??p??p???
即y1y2?-?x1???x2?? ?k?x1-? ?k?x2-??-?x1???x2??
2??2?2??2??2??2???pp22p22p2k2?2k2?12
?k?1x1x2??x1?x2?k?1?k?1?0?k?1?
2422k2
?
2
???????
????
??2?0?不可能?假设错误?结论得证
111
?? 结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则 |AB||CD|2p
推广与深化：
深化 1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有y1y2??2pa．
22
证：设AB方程为my=x-a，代入y?2px．得：y?2pmy?2ap?0，∴y1y2??2pa．
|FR|1
?|AB|2 深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则
p
y?tga(x?)
2， 证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：p2
tga(x?px?)?2px2
4 代入y?2px得：，
2
2
p2
x?x(p?2pctga)??0
4 即：．
2
2
由性质1得
|AB|?x1?x2?p?2p?2pctg2a?
2p
sin2a，
x1?x2p
?
pctg2a22|FM|?||?||
cosacosa， 又设AB的中点为M，则
pctg2ap|FM|
|FE|??||?
|cosa|cos2asin2a， ∴
|FR|1?
∴|AB|2．
?
深化3：过抛物线的焦点F作n条弦A1B1、A2B2、AnBn，且它们等分周角2π，则有
利比亚