积化和差_积化和差和差化积口诀_积化和差有趣记忆口诀(7)

(三)课堂练习题

2．△ABC中a=4，b=5，c=6求△ABC的面积．

3．ABCD为平行四边形，证明：AB2＋BC2＋CD2＋DE2=AC2＋BD2．

(学生练习，教师巡视．)

练习题解答

1．由余弦定理得

∴b=7．

2．由余弦定理得

3．如图3-5．

AC2=AD2＋DC2-2AD·DC·cosD

BD2=AD2＋AB2-2AD·AB·cosA

∵ABCD为平行四边，∴∠A＋∠D=180．AD=BC，AB=CD．

∴AC2＋BD2=AB2＋BC2＋CD2＋DA2

(四)小结

余弦定理是斜三角形中的边角的一种关系，它同样适用于直角三角形．利用余弦定理可以解决的两类问题是已知三边或已知二边一角求其他的边与角的问题，但斜三角形中的条件未必都是这两组，明天的课我们还要考虑在其他条件下怎样解三角形的问题．

二、作业

1．读书p．239——p．242．

2．书面作业 p．243中1、2；p．254中1．

第二课时 §3．6正弦定理

一、教与学过程设计

(一)复习旧课

师：上节课我们学习了余弦定理，请一位同学把余弦定理的内容阐述一下．

生：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即

也可以表示成

(二)引入新课

师：我们知道，余弦定理主要处理已知两边夹角求第三边或已知三边求角的问题，对斜三角形来说，已知条件也可以是二角一边或二边一对角的情况，这时余弦定理就无法施展开了，所以我们今天还要继续探究斜三角形中的边角关系．

师：先提一个问题，求△ABC的面积需要什么条件？

生：自然是一底一高了．

师：能否隐含一些？

生：已知三边或已知二边夹角．

师：好！若已知△ABC中，a、b及∠c，怎样表示△ABC的面积？

生：如图3-6，作△ABC的BC边上的高AD．

由于AD=AC·sinC=bsinC，

师：这是求△ABC面积的又一个重要公式，但这样

的证明妥当吗？

生：与上节课遇到的情况，还要分别考虑∠c为钝

角与直角的情况证明之后，这个公式才具有普遍意义．

师：是否有更好的证明呢？

生：试用坐标法来证，如图3-7．建立直角坐标系．

A坐标为(bcosC bsinC)bsinC=AD．

或记为

上述关系也是斜三角形(当然包含直角三角形)的边、角之间的关系，它恰好弥补了余弦定理中边角关系的不足，对于给定斜三角形的二角一边或二边一对角时，恰好派上用场．

我们现在要探讨的是这个k具有什么样的几何意义？

生：先往最特殊情况考虑，若A=90°，则k=a，这个a可看作是Rt△的斜边，也可看作是Rt△ABC(∠A=90°)的外接圆直径，我们可猜

师：这样推想是很合理的，我们试着来证明这组关系，现在只要看A＜90°或A＞90°时这个等式是否成立就行了，若A为锐角(如图3-8)，可得∠D=∠A．

若A为钝角(如图3-9)

∠A＋∠D=180°．

∴sinA=sinD．

综合所述，我们得到如下关系式：

它可描述成在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且这个比值为三角形的外接圆直径——这就是我们这一节课要介绍的解斜三角形的另一个重要工具——正弦定理．

例题：△ABC中，已知C=10，A=45°，C=30°，求b和S△ABC．(保留两个有效数字)

解：B=180°-A-C=75°