积化和差_积化和差和差化积口诀_积化和差有趣记忆口诀(6)

2．同其他数学公式一样，正余弦定理的表达式也有一些变形．如

则便于由三角形的三边求角，要求学生从本质上掌握定理内容，灵活地选用公式．

3．对于任意三角形正、余弦定理都是成立的，由于直角三角形的边、角之间的关系更特殊，所以仅在斜三角形中才便用正、余弦定理．

(三)德育渗透点

二、教学的重点和难点

1．教学重点．余弦定理和正弦定理的内容及其证明，以及利用余弦定理和正弦定理解斜三角形．

2．教学难点：在解斜三角形时，主要困难有二个方面：一是选择工具，即是何时使用正弦定理，何时使用余弦定理．这必须对定理内容及问题的所求给予总结；二是解的讨论，即是判断何时一解、何时二解，这必须结合三角形全等的制定及三角函数的值域等加以考虑．

三、课时安排

本小节共安排3课时．

四、教与学过程设计

第一课时 §3．5余弦定理

(一)复习旧课

师：初中我们已学过解直角三角形，大家回忆一下直角三角形中的边角的关系

生：Rt△ABC中有a2＋b2=c2

a=sinA．

A＋B=90°．

利用直角三角形的这些关系对任给Rt△的二边或一边一角可以求出这个三角形的其他边与其他角．

师：大家考虑下面的这个问题，△ABC中，AB=5，BC=8，∠B=60°求∠C．

生：过A作AD⊥BC于D，由已知条件可得：

(二)引入新课

前面的例子中，若我们把条件改为一般性条件，即△ABC中，已知AB=C，BC=a，及＜B，怎么用a、c去表示b？

生：与例题同样的解法可得

BC=ccosB， AD=csinB，∴DC=a-ccosB．

∴ b2=(csinB)2＋(a-ccosB)2=a2＋c2-2acosB．

师：很好，这个解的结论就是我们今天要介绍的解斜三角形的重要工具——余弦定理．但若已知条件分别为a，b，∠C或b，c，∠A时能有什么结论？

生：由于a、b、c，A、B、C是轮换对称的，应该有a2=b2＋c2-2bccosA，c2=b2＋c2-2abcosC．

师：板书余弦定理的三个表达式：

a2=b2＋c2-2bccosA，

b2=b2＋c2-2acosB，

c2=a2＋b2-2accosB．

提出问题：前面同学对余弦定理的证明是否正确？有否不完善的地方？

生：原推论是∠B为锐角的情况，应该还要考虑∠B为直角及∠B为钝角的情况．

师：的确如此，我们考虑问题应全面，各种情况都应考虑到，这样得出的结论才具有普遍意义．余弦定理的证明方法有多种，课本也给了一种证法，请同学们翻开课本p．239，看看课本上对这个定理是怎样证明的．

(学生读书约8分钟．)

师：大家都看了课本上的证明，我们现在来比较一下这两种做法，应该说课本上的证法更优，它的好处在于不必对角的状况进行讨论，只要建好坐标系，证明过程是相当简捷的，这种利用建立直角坐标系来证明命题的方法，我们称之为坐标法，

师：利用余弦定理解斜三角形可以解决的问题有两类，一类是已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角；另一类是已知三边，求其余的三个角．对这类问题我们常可直接使用如下变形公式

例题：△ABC中，已知a=7，6=10，c=6，求A、B、C(精确到1°)．

A≈44°．

同样可以求∠B(由学生解答)．

∠C=18°-A-B这样三个角就都求出来了．

说明：解斜三角形免不了近似计算，本书约定为了与查表时的习惯一致(包括用计算器计算)，当计算器所示结果为精确数或有效数字不少于四个的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；若保留的有效数字少于四个时，使用约等号．