积化和差_积化和差和差化积口诀_积化和差有趣记忆口诀(4)

解：原式=2cos60°cos40°＋cos140°

=cos40°＋cos140°

=0．

2．△ABC中，求证cos2A＋cos2B＋cos2C=-1-4cosAcosBcosC．

证明：∵A、B、C为△ABC的三内角．

∴A＋B＋C=π，即C=π-(A＋B)．

∴原式左边=2cos(A＋B)cos(A-B)＋2cos2C-1

=2cos(A＋B)cos(A-B)＋2cos2(A＋B)-1

=2cos(A＋B)[cos(A＋B)＋cos(A-B)]-1

=4cos(A＋B)cosAcosC-1

=-1-4cosAcosBcosC．

(三)范例选解

例1 求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值．

分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理．

(当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差．)

作了如下处理后，即成为三角函数一次式的和差了，自然做和差化积．

若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的．

原式=(sin20°＋sin40°)2-sin20°·cos50°

=[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°

当然，也可以这样配方

原式= (sin20°-sin40°)2＋3sin20°cos50°

例题2 求ctg70°＋4cos70°的值．

分析：由于本题余切函数与余弦函数共存，∴首先应化切为弦，接着自然是要做通分，最后再考虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了．

习题课上，教师主要讲以上二例，虽为例解，但应注意调动学生积极思考，注意学生提出的问题以及学生提出的处理方法，若方向对头应予以肯定，若方法不当也应帮助分析原因．

以下几个练习主要由学生完成，练习题预先写在幻灯片上，适时安排学生板演，习题课的形式是讲讲、议议、练练．

(四)练习题

3．tg10°＋sec50°

课堂练习题分析及解法：

2．类似本题的条件，有两条路可供选择，其一是将两式两边分别平方后再相加，但这样处理所能得到的是cos(α-β)的值，但采用这样的办法于事无补．另一条路是把两个某式左边的三角函数分别作和差化积可得到如下关系：

3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．

到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算太大了．

若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角，利用诱导公式可得如下解法．

(四)小结

说三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为低(降次)，化复合角为单角(和差角公式)，化切割为弦，化大角为小角，和差化积，积化和差。所有这些希望同学们通过自己的实践慢慢揣摸．

，它的功能可以把任意函数而同角的正、余弦函数转化为只含有一个函数的形状，这个变换对于函数三角函数的性质，诸如确定三角函数的周期、最值、划分单调区间等都是十分有用的，掌握好这个公式在一些看似困难的问题都能巧妙地解决，所以课本p．234中例12的内容单独安排一节课．

思考：把下列各式化为只含有一个三角函数的形式．

(ii)-sinx＋cosx，

(iii)asinx＋bcosx．