积化和差_积化和差和差化积口诀_积化和差有趣记忆口诀(3)

为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能方便地记忆，可作如下的换元：

这样我们就得到如下的三角函数的积化和差公式

和差化积公式与积化和差公式相反，它可以把三角函数的和差的形式转化为积的形式，从而获得问题的解决．

如前面评讲的作业，也可以一直由等式的左边一直推到等式的右边．

例1 求sin42°-cos12°＋sin54°的值．

分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式，由于上述问题中现成的同名角函数为sin42°、sin54°，因而一般做法是将这二个函数做和差化积(稍停顿)．但本题若采用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难．应该说这种思考的方向是正确的，但我们不是为和差化积而和差化积，而是为问题的解决而和差化积的，一般地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特殊角的一组进行．鉴于此，本题应采取下面的解法．

解：原式=sin42°-sin78°＋sin54°

=-2cos60°sin18°＋sin54°

=cos54°-sin18°

=2sin36°sin18°．

师：进行到此，本题的化简能进行下去吗？

生：可试着使用正弦函数的倍角公式化简．

2cos36°sin18°

师：本题与前面的例题形式上是差不多的，请大家想一想该怎么解？

生：(议论)用和差化积公式化简应是可行的，由于本题三个函数都是余弦，而任两角的和、差都不为特殊角，所以可任选其中的两个先作和差化积．

提问一个学生，可得如下变形

师：到此，下一步比较关键(指导学生讨论)，逐步统一到如下解法：

师：本题对初学和积互化的关系式中是比较困难的，采用同样的方法也可以对1、3两项或2、3两项先使用和差化积公式，再利用余弦的倍角进一步完成本题．

本题还可以采用积化和差的办法解决之．

(三)小结

和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有负数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式．

无论是和差化积还是积化和差中的“和差”与“积”，都是指得三角函数间的关系，并不是角的关系，这是必须十分清楚的．

三角函数的和差化积所要求的最后结果，只要是三角函数的积的形式就可以了，不求形式上的一致．

遇到三个或三个以上的三角函数的和差化积或积化和差，可以先在其中的二个函数中进行(遇到这种情况多半会组合出特殊角)，然后再与其他的三角函数继续进行下去．今天课上例2的第二种解法主要适用于三角函数式中的角是等差的，通常分子分母上同乘以公差一半的正弦．

二、板书设计

第三课时 习题课

三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容，这二章(第三章与第四章)从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、差、倍、半角的三角函数直到三角函数的和差化积与积化和差，既充分揭示了三角函数的内在关系，且每组公式又都有它自身的使用范围，另外三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都有广泛的应用，学好三角函数是学好其他数学分支的重要基础．由于三角公式相当多，所以记忆和应用就显得十分重要，安排两节习题课的目的，就是希望通过练习及比较，使学生能熟练掌握进行三角恒等变换的一般方法．

(一)复习和差化积与积化和差公式

(二)作业评讲

1．求cos20°＋cos100°＋cos140°．