偏差公式注：在统计学的应用中，参数估计和假设检验是最重要的两(2)

均方误差作为$\hat{\theta}$误差大小从整体角度的一个衡量，这个量越小，就表示$\hat{\theta}$的误差平均来说比较小，因而也就越优. 由定义可以看出来，均方误差小并不能保证$\hat{\theta}$在每次使用时一定给出小的误差，它有时也可以有较大的误差，但这种情况出现的机会比较少.

一个例子:

用100个学生的平均成绩作为全校学生平均成绩的估计，比起用抽出的第一个学生的成绩去估计，哪种方法更好？设总体服从正态分布，这两个估计分别是$\bar{X} = (X_1 + ... + X_100)/100$和$X_1$，如果我们分别计算这两个估计量的均方误差，可得

$$E(\bar{X} - \mu)^2 = \sigma^2/100, E(X_1 - \mu)^2 = \sigma^2$$

故$X_1$的均方误差是$\bar{X}$的100倍（如果多次随机取样每次取100个学生，那么$X_1$可能是任意一位学生相当于随机变量$X$；$\bar{X}$也可能是任意100位同学，相当于$\bar{X}$。比较可以发现，此时求$Mse(\bar{X})$以及$Mse(X_1)$的公式其实就是求$X$和$\bar{X}$的方差的定义）。

相合性准则是根据“依概率收敛”的形式来定义的。这个形式与大数定律的形式相同，因此也可以用“相合性”从估计的观点来对大数定律作出解释。

定义：设$\hat{\theta}(X_1, ..., X_n)$为参数$\theta$的估计量，若对于任意$\theta$，当$n -> +inf$时，

$\hat{\theta}_n -> \theta$，即￥00000000000 （1.4-1）￥

则称$\hat{\theta}_n$为$\theta$的相合估计量或一致估计量。

对于样本均值来说，大数定律指出当样本量足够大时，样本均值依概率趋近于总体均值，就相当于这里的估计量$\hat{\theta}$依概率趋近于带估计参数$\theta$。也就是说，概率$........$当样本大小为n时，样本均值$\bar{X}_n$这个估计量与真值$\theta$的偏离达到$e$这么大或更大的可能性。式子1.4-1表明：随着n的增加，这种可能性越来越小，以致趋于0.

相合性与渐进无偏性有什么区别？

这两个定义看起来差不多，很容易混淆。从形式上来看，渐进无偏性要求的是随着样本量的增加，估计量的期望趋近于被估计量；而相合性要求的是估计量本身趋近于被估计量。

如果估计量是收敛的，那么这两个定义几乎是等同的。但是如果估计量是不收敛的，例如始终是$-1, 1$无限循环的数列，被估计量的值恰好为0，那么这时候满足了渐进无偏性的条件，但是并不满足相合性的条件。因此可以说相合性比渐进无偏性的条件更加严格。满足了相合性就有极大的可能（因为相合性是依概率收敛，因此也不能说绝对满足）是满足渐进无偏性的，但是反过来却不一定。

概括的说，统计量本身完全是样本的函数，自身不包含任何未知参数（样本一旦确定，统计量的值也就定下来了），但是其分布却往往包含未知参数；枢轴量恰恰相反，枢轴量本身就包含总体中的未知参数，但是其分布的形式一般是确定的，不包含未知参数。

前面的小结中已经多次提到了统计量：小结7中对统计量做了基本说明，并且列出了常用的统计量，这些统计量可以用来对总体中的未知参数进行点估计（例如用样本均值估计总体均值）；小结8中提到的三大抽样分布都是统计量的分布，这些统计量都是相互独立且服从标准正态分布的随机变量的函数（例如n个上述随机变量的平方和服从自由度为n的卡方分布）。