高中数学教案

指数幂与对数 课程目标 知识点 指数幂与对数 考试规定 C 具体要求 理解幂的运算及性质、对数运算及 性质；理解指对幂函数的概念、图 象与性质。 1。理解有理指数幂的意义, 2。了解实数指数幂的含义, 3。掌握幂的运算。 1。理解指数函数的概念, 2。理解指数函数的单调性, 3。掌握指数变量图象通过的特殊点。 1。理解对数的概念以及运算性质, 2。知道用换底公式能将通常对数转 化成自然对数 或常用对数， 3。了解对数在简化运算中的作用。 1。理解对数函数的概念, 2。理解对数函数的单调性, 3。掌握对数函数图象通过的特殊点, 4。了解指数函数与对数函数互为反 函数。 1。了解幂函数的概念 。 2。结合常见的幂函数的图像,了解它 们的差异情况 。 考察频率 常考 幂的概念与运算 C 少考 指数函数及其性质 C 少考 对数的概念与运算 C 少考 对数函数及其性质 C 常考 幂函数及其性质 C 少考 知识提要 指数幂与对数 指数幂与对数主要包含对幂的运算的扩张、幂式与对数式的互相转化、幂与对数各自的运算性 质、指对幂函数的基本性质． 幂的概念与运算 ? 根式 一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根（ th root），其中 第 1 页 共 34 页 ．式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent），叫做被开方 数（radicand）． ? 根式的性质 ①当 ． 当 ② ③当 为偶数时对数函数教案下载，正数的 ． 为奇数时， ；当 是偶数时， ． 次方根有两个，它们互为相反数，其中正的 次方根记为 ． 为偶数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数，均记为 ④ 负数没有偶次方根． ? 整数指数幂到分数指数幂的扩充 ① 正整数指数幂： 个 ； ； ； 且 ； 且 ； ② 零指数幂： ③ 负整数指数幂： ④ 分数指数幂： ⑤ 负分数指数幂： ⑥ 的正分数指数幂等于 ， 的零指数幂和负分数指数幂没有意义． ? 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 小于 的方向靠拢 时， 时， 从多于 从大于 是无理数 是一个确定的实数．当 的方向靠拢 ． ；当 的不足近似值从 的 的过剩近似值从小于 方向靠拢 ? 的方向靠拢 幂的运算性质 ① 同底数幂相乘，底数不变，指数相加： ② 幂的乘方，底数不变，指数相加： ③ 积的整式，将各个因式分别相乘： ④ 同底数幂相除，底数不变，指数相加： ⑤ 分式乘方，将分子和乘数分别相乘： ． ； ； ； ； 第 2 页 共 34 页 指数函数及其性质 一般地，形如 是自变量． 且 的方程叫做指数函数（exponential function），其中 ? 图象 ? ? ? 定义域 值域 性质 ① 过定点 ②当 ； 时，在 上是减函数；当 时，在 上是增函数． 对数的概念与运算 ? 对数 一般地，如果 ，其中 ． ? 对数的性质 根据对数的定义，有（ ）： 叫做对数的底数， ，那么数 叫作以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做真数．也即 第 3 页 共 34 页 ① 负数与零没有对数； ② 的对数等于 ，即 ③ 底数的对数等于 ，即 ④ ⑤ ? 常用对数 以 为底的对数叫做常用对数，常用“ ”表示（即“ ”）． ； ． ； ； ? 自然对数 以 为底的对数叫做自然对数（ 是无理数， “ ”）． ），常用“ ”表示（即 ? 对数的运算性质 ① 积的对数等于对数的跟： ② 商的对数等于对数的差： ③ 幂的对数等于幂指数与幂的对数的积： （ （ 且 （ 且 ）； 且 ）． ）； ? 换底公式 （ 且 且 ）． 对数函数及其性质 一般地，形如 是自变量． 且 的方程叫做对数函数（logarithmic function），其中 ? 图象 第 4 页 共 34 页 ? ? ? 定义域 值域 性质 ① 过定点 ②当 ； 时，在 上是减函数；当 时，在 上是增函数． 幂函数及其性质 一般地，形如 的方程也称幂函数（power function），其中 是自变量， 是实数． ? 图象 第 5 页 共 34 页 ? 定义域 幂函数的定义域都包含 ． ? 性质 ① 幂函数的图像都通过点 ②当 ③当 在 是奇数时，函数 时，函数 在 ； 是奇函数；当 是奇数时，函数 是偶函数； 时，函数 上是单调递增函数；当 上是单调递减函数； 时，函数 的图像向下与 轴无限接近，向右与 轴 ④ 在第一象限内，当 无限接近． 精选例题 指数幂与对数 1。

已知镭经过对数函数教案下载， 年剩留原来质量的 ． ，该质量为 的镭经过 年后的剩留量为 ，则 之间的函数关系是 【答案】 2。 【答案】 3。 【答案】 4。 【答案】 5。 若函数 【答案】 【分析】 由 或 ，得 ， 是 上的减函数，则 的取值范围是 ． ． 第 6 页 共 34 页 所以 6。 已知幂函数 称，试确定 【解】 且 解得 当 当 或 ． 的图像与 轴、 轴都没有公共点，且关于 轴对 的解析式． 是奇数， 由题意可得 ， ， ． 和 时，解析式为 时，解析式为 （ 且 ，求 时，由 ，得 时， 时， 在区间 令 ； ． 为实数）． 的定义域； ，得 ． 或 ． 的取值范围． 为 在 上的减函数，所以应让 ； 或 ， 7。 已知函数 (1)若常数 【解】 当 故当 当 (2)若 【解】 在 故有 即 故 解得 的取值范围是 当 时，由 的定义域为 上是减函数，求 ，因为 的定义域为 上是减函数，必须使 上为增函数且为正， ， ． 8。 计算 【解】 原式 ． 9。 化简 ． 第 7 页 共 34 页 原式 【解】 10。 若 【解】 考查幂函数 函数． 由题意，得 即 所以 解得 或 ，求实数 ，它在 ， ， 的取值范围． 上是偶函数，且在 上是减