机械原理教案 三 平面机构的运动预测

本次课题：平面机构的运动预测 教学要求： 1） 明确机构运动预测的内容、目的及技巧。 2）深入理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心）的概念，学会利用“三心定理” 确定大概平面机构各瞬心的位置。掌握用瞬心法对简单平面高、低副机构进行速度分析； 3）熟练掌握相对运动图解法对机构进行速度、加速度分析； 4）学会用矢量函数解析法进行机构速度、加速度分析； 重 点： 瞬心法对机构进行速度分析、相对运动图解法对机构进行速度、加速度分析 难 点：瞬心的概念及求法、相对运动图解法矢量函数、速度和加速度多边形、哥氏加速度、影像法、矢量的微分运算 教学方法及教具：讲解时主要运用黑板画图，边讲，边回答、边讨论、边作图，要让学生自始至终参与矢量函数的图解过程。连杆机构运动仿真课件； 讲授内容及时间分配：讲授 7 学时包括一个学时的习题课。 1） 机构运动预测的内容、目的及技巧； 2）速度瞬心法以及在机构速度分析上的应用：深入理解速度瞬心（绝对瞬心和相对瞬心）的概念，运用“三心定理”确定大概平面机构各瞬心的位置； 3）例题：用瞬心法对简单平面高、低副机构进行速度分析。

4）用相对运动图解法求机构的速度跟加速度：同一构件上点间的速率跟加速度的关系及求法、两构件的重叠点间的速率跟加速度的关系及求法； 5）例题：用相对运动图解法求机构的速率跟加速度时要切记的问题； 6）用矢量函数解析法解析法作机构的运动评述。 课后作业 至少要比如： 用瞬心法对简单平面高、低副机构进行速度分析、同一构件上点间的速率跟加速度的关系及求法、两构件的重叠点间的速率跟加速度的关系及求法以及逆问题（以二级机构为主，同时留意特殊位置的状况） 阅读手册 本章介绍的机构运动预测内容以详解法为主，对解读法内容也只是介绍了几何含义较强的简洁的矢量函数解析法，且主要对于平面机构，现代机构学尤其是研究空间机构多采取矩阵法，方向余弦矩阵、位移矩阵、旋转矩阵、螺旋矩阵、微分旋转矩阵、微分位移矩阵等概念在现代机构运动预测一直用到，特别是用电算求解机构运动问题，这方面内容可以参阅： 《机构学和机构设计》[美]C.H 苏、C.W 拉德克利夫著 上海交通大学机械原理及机械零件教研室译 北京：机械工业出版社 1983 《机构设计-分析与综合》[美]A G 厄尔曼、G D 桑多尔著，庄细荣、党祖祺译，北京：高等教育出版社 1992 《高等机构设计-分析与综合》[美]A G 厄尔曼、G D 桑多尔著，庄细荣、杨上培译，北京：高等教育出版社 1993 《空间机构的分析与综合》张启先编著 北京：机械工业出版社 1984 《平面连杆机构分析与综合》曹惟庆著，北京：科学出版社 1989第三章 平面机构的运动预测 §3-1 研究机构运动预测的目的跟步骤 1、 运动预测： 已知各构件重量和原动件的运动规律→从动件各点或构件的（角）位移、（角）速度、（角）加速度。

2、 目的：判断运动参数是否满足设计规定？为后继设计提供原始参数 3．方法： 图解法：形象直观、概念清晰。精度不高？（速度瞬心法，相对运动图解法） 解析法：高的误差。工作量大？ 实验法： §3-2 速度瞬心法以及在机构速度分析上的应用 1、速度瞬心：两构件作平面相对运动时，在任意瞬间总能找到这种的点：两构件的相对运动可以觉得是绕该点的转动。 深入理解速度瞬心： 1） 两构件上相对速度为零的重叠点，即同速点； 2） 瞬时具有瞬时性（时刻不同，位置不同）； 3） 两构件的速度瞬心位于无穷远，表明两构件的角速率相等或仅作相对移动； 4） 相对速度瞬心：两构件都是运动的； 绝对速度瞬心：两构件之一是静止的（绝对速度为零的点；并非接触点的差异速度）； 2、机构中瞬心的数量年 K： 2) 1 ( n nKn —— 构件数(包括机架) 3、 瞬心位置的确认 1） 直接观察法（定义法，由于直接产生运动副的两构件）；2）三心定理法：用于没有直接产生运动副的两构件 三心定理：作平面运动的三个构件共有 3 个瞬心，它们位于同一直线上。 证明（反证法）： 32) 1 3 ( 3 N P 23 位于 P 12 、P 13 的连线上（为便于起见，设 1 固定不动） 设：K 代表 P 23 ，设 K 不在 P 12 、P 13 连线上， 根据瞬心定义：3 2 k k V V ，（同速点） 31 1 211k k kk V V V V 即： 31 21 k k V V 假设不能成立（连起码的方向都不可能一致） 3、 速度瞬心法在机构运动预测中的应用 1）图示高副机构，设已知ω 1 求图示位置构件 2 的角速度ω 22）铰链四杆机构，速度瞬心法 3）曲柄滑块机构 4）直动平底从动件凸轮机构 v K1v K2313P11P 2322K62) 1 4 ( 4 N62) 1 4 ( 4 Kn(P )A121 3231B(P )nP 323C 35）图示机构，已知 M 点的速度，用速度瞬心法求出所有的瞬心，并求出 V C ，V D ，i 12 。

解：直接观察：P 12 、P 23 、P 34 ； P 14 =（n_-n）. × V M ;P 13 = P 12 P 23 . × P 14 P 34 P 24 = P 12 P 14 × C·P 24 P 34; ω 1 = V M / P 14 M ;V B = P 14 B·ω 1 ω 2 =V B / P 12 P 24;V C = P 24 C·ω 2 ω 1 /ω 2 =( V M / P 14 M)/( V B / P 12 P 24 ); V D = P 24 D·ω 2 速度瞬心法小结： 1） 速度瞬心法仅用于求解速度问题平面构成教案下载，不能用于求解加速度问题。 2） 速度瞬心法用于简单机构（构件较少），很方便、几何意义强； 3） 对于复杂机构，瞬心数目很多，速度瞬心法求解不便（可以只找与解题有关的瞬心） 4） 瞬心落在图外，解法失效。 5）瞬心多边形求解的实质为三心定理，对达到 4 个以上构件的机构借助于瞬心多边形求解较便于。

§2—3 用相对运动图解法求机构的速度跟加速度 一．矢量函数图解法基本原理：用相对运动机理列出构件上点与点之间的相对运动矢量函数，然后作图求解矢量函数。 1． 矢量方程（高副低代）2。矢量函数的图解 每个矢量函数可以求解两个未知量 二、同一构件上点间的速率跟加速度的关系及求法 图示机构，已知：机构各构件的规格及φ 1 、ω 1 、ε 1 ； 求 V C 、V E 、a C 、a E 、ω 2 、ε 2 、ω 3 、ε 3解：1、 求速度跟角速度 大小 ？ l AB ω ？ 方向 ⊥CD ⊥AB ⊥BC→ →V CEC C EB B EV V V V V 大小 ？ ABl1 ？ √ ? 方向 ？ √ ⊥BE √ ⊥EC→ →V E BCCBlV2 , 方向：顺时针CDClV3 ,，逆时针 (方向判定采用矢量平移) 在速度多边形中，△bce 和 △BCE 相似，图形 bce 为 BC’E 的速度影像。

在速度多边形中：P→极点，CBV bc 注意：速度影像只能应用于同一构件上的各点。 小结： 1） 一个矢量函数最多只能求解两个未知量； 2） P 称为极点，它代表机构中所有构件上绝对速度为零的点（速度多边形中仅此一点，它或许对应机构中多个点：机架上的点或构件的绝对瞬心点） 3） 由 P 点指向速度多边形中任一点的矢量代表该点的绝对速度大小跟方向； 4） 除 P 点之外的速度多边形上其他两点间的连线，则代表两点间的相对速度（注意 b→c = V CB ） 5） 角速度的求法： ω= V CB /L BC 方向判断采用矢量平移;该角速率就是绝对角速度，(随同基点平动+相对旋转) 6） 同一构件上，已知两点的运动求第三点时才可以使用速率影象原理。（机构整体不存在影象） 7） 随意在速度矢量图上指定一点，可能在机构图中的每一个构件上按影象原理找到对应的点。 8） 多杆机构的运动预测一般按杆组的装配顺序进行。 2 、求加速度，角加速度 CB B Ca a a 或 CBanCBatBanBatcanca 大小CDl23 ? ABl21 ABl1 BCl22 ? 方向C→D ⊥CD B→A ⊥AB C→B ⊥BC 求Ea ：EBanEBaBaEa CB B CV V V 方向 ？ √ E→B ⊥BE 大小 ？ √ BEl22 BEl2 加速度多边形中： 2242222 222 2) ( ) ( ) ( ) ( CB CB CB CBnCB CBl l l a a a 同理：2242 EB EBl a 2242 EC ECl a ∴ EC EB CB EC EB CBl l l a a a : : : : ∴ EC EB BC e c e b c b : : : : 即 e c b 和 BCE 相似，称 e c b 为 BCE 的加速度影像。

用处： 注意：只用于同一构件上。 三、两构件的重叠点间的速率跟加速度分析已知机构位置，尺寸，1 等角速 求3 3 , 。 解：1、取c 作机构运动简图2、求角速度 2 3 2 3 B B B BV V V 大小 ？ ABl1 ？ 方向 ⊥BC ⊥AB ∥BC ∴BCBlV33 ，顺时针 3、求角加速度 x5y1ChDh 23h 1xF 4E2BA6x 11rB BKB B B Ba a a a2 3 2 3 2 3 rB BkB B B BnBa a a a a2 3 2 3 2 3 3 方向 B→C ⊥BC B→A ⊥BC ∥BC 大小 BCl23 ？ ABl21 2 3 22B BV ？ sin 22 3 2 2 3 B BkB BV a ； 90 °（） 2 3 2 B BV 与 方向：将2 3B BV 沿2 转动 90°。 ∴ BCBla 33 ，逆时针举例：已知：机械各构件的厚度，2 （等角速度） 求：滑块 E，EV ，Ea导杆 4，矢量函数图解法的特征及留意事项 1） 该法的几何含义强、直观简便，具有普遍的适用意义。

适用两类方程可以对所有低副机构作运动预测； 2） 本方式的工作量大（尤其分析机构整个运动循环时）、精度低（不绝对，若运用 AUTOCAD绘图解的效率很好）。 3） 影象法的使用可以大大简化求解过程，但要切记使用条件（同一构件）； 例题：图示铰链四杆机构，速度和加速度矢量图已做出，但不完整，请补全，并：. a) 求构件 1，2平面构成教案下载，3，上速度为 Vx 的 X 1 、X 2 、X 3 的位置 b) 构件 2 上加速度为零的点 Q，标出该点的速度 V Q ； c) 构件 2 上速度为零的点 E，标出该点的加速度 a Q ； d',n 2n b'(b)e',n 31c'f'efbcp,d4） 对带有三级杆组的机构需留意，其位置图需描轨迹取交点确定，其运动预测能通过特殊点法求解或结合瞬心法） 5） 速度矢量图随原动件角速率不同按比例差异，可以用此机理变化机架，求解三级机构速度分析问题。（但加速度不存在此原理） 6） 同一构件上的两点的速度在其两点的连线上投影相同；组成移动副两构件重合点处的速率在平行导路方向的投影相同； 7） 某些机构进入特殊位置时的速度、角速度多边形可能作为直线、重合点或运动不确定问 题，需引起注意； 关于科氏加速度 a k 问题：（2ωV r 中，使用拿一个，的方向及有时 a k 为零）8） 对于这些带有移动副的机构，采用缩减构件找重合点、杆块对调或导路平移的方式，往往可以让问题简化；§2-4 用矢量函数解析法解析法作机构的运动预测 一．矢量的基本知识 1） 矢量的表示方式 e e -----单位矢量; e et -----切矢 （切向矢量：反时针转 90゜）; e en -----法矢 （法向矢量：反时针转 180゜）; e e = =i i cosθ+j j sinθ (i i 、j j 代表与 X、Y 轴同向的单位矢量) L L=L e e =L∠θ=L（i i cosθ+ j j sinθ） 2） 单位矢量的运算--------点积运算 (1)点积运算： a b = a b cosθ (标量运算：数量积，与顺序无关，θ两矢量间的夹角) (2) e e 1 e e 2 =1 cos(θ 2 -θ 1 )-----(理解：投影)； (3) e e 1 i i = cosθ-----(在 X 轴上的投影) (4) e e 1 j j = sinθ-----(在 Y 轴上的投影) (5) e e e e=1-----(自身点积为 1，用于消去θ) (6) e e 1 e en =-1-----(反向点积) (7) e e 1 e et =0(在⊥方向的投影为零，用于消去该矢量) 练习：e e 1 e et t2 2 =cos[(θ 2 + 90゜)-θ 1 ]=-sin(θ 2 -θ 1 ) e e 1 e en n2 2 = cos[(θ 2 + 180゜)-θ 1 ] =-cos(θ 2 -θ 1 ) 3) 单位矢量的运算--------微分运算 （1） 对θ的微分：（对θ微分一次转 90゜） e e ′= - i i sinθ+ j j cosθ= - i i cos（90゜+θ）+ j jsin（90゜+θ） e et t ″= e e t t ′= - i i cosθ- j j sinθ= - （i i cosθ+ j jsinθ）= - e = e en n （2）矢量 e e 对时间 t 的微分：（ e e 对θ微分,θ再对 t 微分） d e e /dt = (d e e /dθ)(dθ/dt) = ω e et t d e et t /dt= (d e e t t /dθ)(dθ/dt)=ω e e n n d″ e e /d″t = (d e e /dt)′=d(ω e et t )/dt=ε e e t + ω 2 e e n n ( 单位矢量的切向加速度+单位矢量的法向加速度) (3)对定长矢量的微分 dL L/dt = d( L e e )/dt= Lω e et t d e et t /dt= (d e e t t /dθ)(dθ/dt)=ω e e n n d″L L/d″t = d ( (L ω e et t ) ) /dt = L ε e e t + L ω 2 e en n ( 定长矢量的切向加速度+定长矢量的法向加速度) 二、用 矢量 方程解析法 进行 机构运动分析(用下图机构表明本办法的解题方法) 1） 建立坐标系和封闭矢量图 L L 1 + L 2 = L 3 + L 4 大小 √√√√ 方向 √？？√2） 进行位置预测 （1）求解θ 3 L 2 = L 3 + L 4 -L 1 方程两端各自点积（消去θ 2 ） ： L 2 L 2 =（ L 3 + L 4 -L 1 ） （L 3 + L 4 -L 1 ） 整理后，得 ： A Sinθ 3 + B Cosθ 3 + C =0 式中： A=2l 1 l 3 sinθ 1 ; B=2l 3 (l 1 cos-l 4 ) ; C = l=22 - l =12 - l =32 - l =42 + 2l1 l 3 cosθ 1 3)进行速率分析 由位置方程： l 1 e 1 + l 2 e 2 = l 3 e 3 + l 4 e 4 （1）对时间进行一次微分； ω 1 l 1 et t1 +ω 2 l 2 et t2 =ω 3 l 13 et t3 +ω 4 l 4 et t4 （2）求 ω 3 ， 用 e 2 点积上式，消去 θ 2 ω 3 =ω 1 l 1 sin(θ 1 -θ 2 )/ l 3 sin(θ 3 -θ 2 ) （3）求 ω 2 ， 用 e 3 点积上式，消去 θ 3 ω 2 =-ω 1 l 1 sin(θ 1 -θ 3 )/ l 2 sin(θ 3 -θ 2 ) 3） 进行加速度分析由速率方程： ω 1 l 1 et t1 +ω 2 l 2 et t2 =ω 3 l 13 et t3 (1) 将速度方程对时间再进行一次微分解得： ε 1 l 1 et t1 +ω 12 l1 e en n1 +ε 2 l 2 et t2 +ω 22 l2 e en n2 =ε 3 l 3 et t3 +ω 32 l3 e en n3 （2） 求ε 3 ， 用 e 2 点积上式，消去θ 2 （ et t2 e e 2 = 0；e n n2 e e 2 = -1） 得： ε 3 =[ ω 12 l1 cos(θ 1 -θ 2 )+ ω 22 l2 -ω 32 l3 cos(θ 3 -θ 2 ) ] / l 3 sin(θ 3 -θ 2 ) （3） 求ε 2 ， 用 e 3 点积上式，消去θ 3 得： ε 2 =[- ω 12 l1 cos(θ 1 -θ 3 ) + ω 32 l3 -ω 22 l2 cos(θ 2 -θ 3 )] / l 2 sin(θ 2 -θ 1 )时间允许情况下再举一个摆动从动件凸轮机构的举例，进一步介绍机构位置方程的构建，并验证高副低代。

习题课选题类型应全面、要有特征，习题有简洁到复杂，层层深入，要把握基本难题进行讲解，切忌过难题目。 机构的运动线图 要知道机构的运动特点，需知道机构在一个运动循环中各个位置时的位移、速度、加速度的差异情况。把这种运动参数的的差异情况用曲线表示出来就是机构的运动线图。这些运动线图可非常直观的表示出机构的运动性能。以曲柄滑块机构及课件为例介绍机构运动线图的做法。并分别表明图解法探讨、解析法分析的特征。第三章 平面机构的运动分析