【期中复习】、对数函数、幂函数教案（二）

第一篇：指数函数、对数函数、幂函数教案

一、指数函数

1. y=ax(a0,a0)形式的函数称为指数函数，其中自变量为x，函数域为R，值域为(0,+ )。

2.指数函数y=ax(a0,a0)恒定通过点(0,1)． 3.当a1时，函数y=ax为单调性 性质是 R 上的增函数；当 0a1 时，函数 y=ax 的单调性是 R 上的减函数。

二、对数函数 1. 对数定义：

一般而言，若a(a0 and a1）的b次方等于N，即ab=N，则b为a的以N为底的对数，记作logaN=b ，其中，A称为对数的底数，N称为真数。

b 重点理解对数公式和指数公式的相互转化关系，理解a=N和b=logaN代表a、b、N三个量之间的相同关系。2.对数的性质：

（1）零和负数没有对数；（2）loga1=0；（3）logaa=1

这三个性质是以后学习对数函数的基础和准备，一定要掌握并真正理解。3. 两个特殊对数是： ①常用对数：以10为底log10N简写为lgN ②自然对数：以e为底（无理数），e= 2.718 28 ……，loge4.对数身份（1）logaab=b；（2）alogaNN 缩写为lnN。

＝N

湾 有必要明确对数公式和指数公式中a、b、N的含义。在指数a=N中，a为底，b为指数，N为幂；在对数公式b=logaN中，a是a的右底数，N是真数，b是a的底数N的对数，虽然a、b、N在对数和指数不同，但对数和指数密切相关： 求 b 对数 logaN 就是求 a=N 中的指数，即确定 a 的多少次幂等于 N。

1

三、幂函数

1、幂函数的概念：一般我们称形式为y=xα的函数为幂函数，其中x为自变量，α为常数；

注：幂函数与指数函数的区别。2. 幂函数的性质：

(1）幂函数的图全了(1,1);

(2）α0时，幂函数在[0,+上单调递增)；当α0时，幂函数在(0,+)上单调递减；

(3）当=-2,2时，幂函数为偶函数；当=-1,1,3,时，幂函数为奇函数。

四、经典案例

1、已知f(x)=x·(

31311+)；x22-1(1)确定函数的奇偶性；(2)证明：f(x)>0. 【解】：(1)因为2－1≠0 ，即2≠1，所以x≠0，即函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}。

x11x32x+1+)=·x 和 f(x)=x(x,

22－12－123(－x)32－x＋1x32x＋1·＝·f(-x)==f(x), 22－x－122x－1 所以函数f(x)是偶函数。

x32x+10. (2)当x>0，则x>0, 2>1, 2-1>0, 所以f(x)=·x22-13

X

x和f(x)=f(－x)，当x0.和上面的f(x)>0.

2 a·2x+a-2(xR)，如果f(x)满足f(-x)=-f(x)。例子

2、已知f(x)=x2+1(1)求实数a的值；(2)确定函数的单调性。

【解】：（1)函数f(x)的定义域为R，f(x)满足f(-x)= -f(x)，所以f(-0)=- f(0), 即 f(0)=0. 所以

2a-2=0，解为a=1, 22(2x1-2x2)2x1-12x2-1(2)Setx1

3、 知道f(x)=log2(x+1)，当点(x, y)在函数y=f(x)的图像上移动时，点(,)在函数y =g(x)在图像上运动。(1)写出y=g(x)的解析公式；

(2) 求x的取值范围，使得g(x)>f(x);

(3)在(2)的范围内，求y=g(x)-f(x)的最大值。)【解】：(1)令

xy32xy=s,=t, 那么 x=2s,y=2t。32 因为点 (x,y) 在函数 y=f(x) 的图像上移动，所以 2t=log2(3s+1),

11log2(3s+1), 所以 g(x) = log2(3s+1) 221(2) 因为 g(x)>f(x) 所以 log2(3x+1)>) log2(x+1)

2 即t=3x+1(x+1)23 即0x1 (3)最大值为log23－

2x+10x2. 例子

4、已知函数f(x)满足f(x－3)=lg2x-62(1)求f(x)的表达式及其定义域；(3)2)判断函数f(x)的奇偶性；

(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值。解：(1)@ >设x－3=t，则x=t+3，所以f(t)=lg2

2

t+3t+3=lg

t+3-6t-3x+3x+30, x3. 解不等式x-3x-3x+3所以f(x)-lg，定义域为(－∞,－1)7@ >∪(3，+∞). x-3 所以 f(x)=lg

3-x+3x-3x+3=lg=-lg=-f(x)。-x-3x+3x-3x+3(3)因为f[g(x)]=lg(x+1), f(x)=lg,

x-3(2)f(-x)=lg 所以lgg(x)+3g(x)-3=lg(x+1),

所以g(x)+3g(x)-3=x+1，

(g(x)+3g(x)-30,x+10)。解为g(x)=3(x+2)x，所以g(3)=5

Part 2: 幂函数、指数函数和对数函数-对数及其算法-教案

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其算法·教案？教学目标

1. 理解并记住对数的定义、对数与指数的互化、对数恒等式和对数的性质。2、了解并掌握对数算法的内容和推导过程。3. 熟悉对数的性质和解决问题的对数运算。教学重点与难点

重点是对数的定义，对数的性质和算法。难点在于对​​数的定义涉及比较难记的名字和算法的推导。教学流程设计师：（板书）众所周知，GDP年均增长率7.2%。原来20年的GDP增长率是多少？

健康：如果原来的GNP是1，那么20年后的GNP就是y=(1+7.2%) 20=1.07220，所以20年后的GNP就是原来的1.07220 次。

师：这是一道实际应用题。我们把它变成数学中的一个问题，即知道底数和指数并找到指数值。也就是上面学到的索引问题。师：（黑板写）众所周知，GDP年均增长率7.2%。多年后GDP会是原值的4倍？师：（分析）按照上面的例子，假设原来的GNP是1，经过x年，GNP是原来的4倍。方程列表

1.072x=4。

我们把这个应用问题变成了知道基值和幂值并找到指数的问题。这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题。师：（黑板字）一般来说，如果a(a>0,a≠1）的b次方等于N，即ab=N，那么数b叫做N的对数，a作为基数，记为 logaN=b，

其中，a称为基数，N称为真数，表达式logaN称为对数表达式。师：请谈谈你对对数定义的理解。

盛：对数公式logaN实际上是指数公式中指数b的一种新记法。盛：对数是一种新的运算。它是通过知道基数和幂值来找到指数的操作。（此时，我不指望学生们说的深入，而只是给他们一个思考和理解对数定义的机会。）

师：他们都讲得很好。实际上，公式ab=N涉及三个量a、b、N，从等式上看，可得“知二求一”。知道a和b可以找到N，也就是之前学过的指数运算；知道b（当是自然数时），N可以找到a，即开

记录为 logaN=b。因此，对数是一种新的运算，一种知道底数和幂值以找到指数的运算。而且每次学习一个新的操作时，你必须先学习它的符号。对数运算的记号是logaN，发音为：以a为底的N的对数。请注意此操作的书写和发音。师：其实指数和对数只是量之间相同关系的两种不同形式。为了更深入地理解和记忆对数的概念，请填写以下表格。（播放幻灯片）？公式名称？

ab N?

指数对数 ab=N logaN=b？？？

练习1？以对数形式写出以下指数：

练习2？以指数形式写出以下对数形式：

练习3？求以下公式的值：

（二学生板表现练习1和2（过程略），生活板表现练习三。）因为22=4，4的对数以2为基础等于2。

因为53=125，所以以5为底的125的对数等于3。（注意纠正学生的错误读音和书写。）

师：从定义上还要注意对数公式logaN=b中字母的取值范围是多少？健康：a>0且a≠1；b∈R；N∈R。

师：N∈R？（这是学生最容易出错的地方，开始时要提醒学生，真数大于零。） 学生：由于在实数范围内，正数的任何幂都是正数，所以ab =N 其中 N 是总和 它是一个正数。师：要特别强调的是，零和负数是没有对数的。师：为什么定义中规定了a>0和a≠1？（根据班级情况决定是否设置此题。）

称为常用对数，缩写为lgN；当底数a=e时，称为自然对数，记为lnN，其中e为无理数，即e≈2.718 28... 练习4？计算以下对数：

lg10000、lg0.01、2log24、3log327、10lg105、5log51125。师：请学生说出结果，发现规律，大胆猜测。健康：2log24=4。这是因为 log24=2 和 22=4。

健康：3log327=27。这是因为 log327=3 和 33=27。健康：10lg105=105。

健康：我猜 alogaN=N，所以 5log51125=1125。

老师：很好。这是我们将在下面学习的对数恒等式。老师：（在黑板上写）

alogaN=N (a>0, a≠1, N>0）. (用红笔在字母值范围内画一条曲线) (再次鼓励学生提出更高的要求，给予严格的证明。）（学生平行讨论并回答。） 学生：（在黑板上写）

证明：设指数方程ab=N，则对应的对数方程为logaN=b，故ab=alogaN=N。师：你证明对数恒等式的依据是什么？健康：根据对数定义。师：（分析总结）证明的关键是设指数方程ab=N。因为我们要证明这个对数恒等式，而现在我们关于对数的知识只有定义，所以显然我们必须使用定义来证明它。对数的定义是基于指数的对数函数教案下载，所以必须先建立指数方程，将其转化为对数方程，然后证明。师：掌握了对数恒等式的推导后，要特别注意这个方程的适用条件。健康：a>0，a≠1，N>0。

师：接下来观察公式的结构特点，并记住它。（给学生一分钟。） 师：（黑板）2log28=？2log42=？健康：2log28=8；2log42=2。师：第二个问题对吗？怎么了？

师：（继续问）使用对数恒等式时要注意什么？（经历以上错误，让学生更牢牢记住对数恒等式。） 学生：当幂的底数和对数的底数相同时，可以使用公式 alogaN=N。

（老师用红笔在两个a上重写。） 师：最后，对数恒等式的作用是什么？健康：简化！

师：请翻开书第74页，做习题4。（学生回答，略）

师：我们对对数的定义已经有了一定的了解。现在，我们将根据定义进一步研究对数的性质。师：负数和零有对数吗？并说明原因。

健康：负数和零没有对数。因为定义中规定了a>0，所以无论b是什么数，总会有ab>0。这意味着无论 b 是什么数字，N=ab 始终是正数。因此，从方程 b=logaN 可以看出，负数和零没有对数。

老师：很好。由于对数的定义是以指数的定义为基础的，所以我们应该充分利用指数的知识来研究对数。师：（黑板写）性质1：负数和零没有对数。师：1的对数是多少？

学生：因为a0=1（a>0，a≠1），根据对数的定义，1的对数为零。教师：（黑板）1的对数为零。老师；对基数是什么数？

盛：因为a1=a，根据对数的定义，底的对数等于1。师：（黑板）底的对数等于1。

老师：给我一分钟。请记住这三个属性。

师：初中的时候对数函数教案下载，我们学过指数的算法。请回忆一下。

Health：乘以基数，基数不变，指数相加，即am·an=am+n。除以基数幂，基数不变，减去指数，即am÷an=am-n。还有 (am)n=amn;

师：下面我们用指数算法来证明对数算法。（黑板书写）（1）正因子乘积的对数等于同底因子的对数之和。即loga(MN)=logaM+logaN。（请由两个学生读规则（1），并给学生时间讨论证明。） 师：（分析）我们要证明这个算法。我们不能从盯着看开始。这时候，我们应该认为我们只学习了对数的定义和性质。显然性质不能证明这一点。因此，只能通过定义证明。而对数是由指数定义的。显然，它需要由指数证明算法。因此，我们必须首先将对数方程转化为指数方程logaM=p，logaN=q，从对数的定义，可以写成M=ap,N=aq。所以 M·N=ap·aq=ap+q，所以