【每日一题】不同函数增长的差异[基础自测](2)

可以看出，在区间[1,+∞)内，指数函数y=2x随着x的值快速增加，而对数函数y=lg2x增加缓慢。

eq \x (庄元散文) 将函数y = 2x 和y = lg2x 在同一平面直角坐标系中做一个图像，从图像中可以观察到函数的增长和变化。如图：

作业 24

一、 多项选择

1.假设a=lg0.50.9, b=lg1.10.9, c=1.10.9,那么 a , b 和 c 的关系是 ()

A.a<b<c B.b<a<c

C. b<c<a D. a<c<b

分析：因为0=lg0.51<a=lg0.50.9<lg0.50.5=1，

b=lg1.10.9<lg1.11=0，c=1.10.9>1.10＝1，

故b＜a＜c，故选B。

答案：B

2. y1=2x, y2=x2, y3=lg2x，当2<x<4时，有()

A. y1>y2>y3 B. y2＞y1＞y3

C. y1>y3>y2 D. y2>y3>y1

分析：在同一平面直角坐标系中绘制这三个函数的图像（图中略）。在区间(2,4)中，从上到下对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=lg2x,所以y2>y1>y3.

答案：B

3.若lgaeq \f(3,4)<1(a>0, and a≠1),则实数a的取值范围为()

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(3,4)))B.eq \b\lc\(\rc\) (\a\vs4\al\c1(0,\f(3,4)))∪(1,＋∞)

C. (1, +∞) D. (0,1)

分析：当 a>1 时，lgaeq \f(3,4)<0<1, 成立。

当 0<a<1 时，y=lgax 为递减函数。

从 lgaeq \f(3,4)<1=lgaa, 我们得到 0<a<eq \f(3,4).

综上所述，0＜a＜eq \f(3,4)或a＞1.

答案：B

4、函数y=lg0.4(－x2＋3x＋4)的取值范围为()

A. (0,2]B.[-2,＋∞)

C. (－∞,－2] D. [2,＋∞)

分析：-x2＋3x＋4＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋eq \f(25,4)≤eq \f(25,4), and -x2＋3x＋4>0, 那么 0＜－x2＋3x＋4≤eq \f(25,4), 函数 y=lg0.4x 是(0, +∞)，则y=lg0.4(－x2＋3x＋4)≥lg0.4eq \f(25,4)=－2 ，取值范围的函数是 [-2, +∞)。

答案：B

二、填空

5、函数f(x)=lgax(a>0，[2,3]上a≠1)的最大值为1，则a=________。

分析：当a>1时，f(x)的最大值为f(3)=1,

那么lga3=1，∴a=3>1.∴a=3符合题意。

当0＜a＜1时，f(x)的最大值为f(2)=1.

那么lga2=1, ∴a=2>1.∴a=2 不适合做题，总结一下a=3.

答案：3

6. 假设函数 f(x)=lg2eq \f(ax,1+x) 是一个奇函数，则实数 a 的值为________。

分析：来自奇函数的 f(x)=-f(-x)，

lg2 eq \f(a－x,1＋x)=－lg2eq \f(a＋x,1－x),

eq \f(a－x,1＋x)=eq \f(1－x,a＋x), a2=1,

因为 a≠-1，

所以 a=1.

答案：1

7、如果函数f(x)=(3-a)x 和g(x)=lgax 有相同的增减，则实数a 的取值范围是________。

分析：如果 f(x) 和 g(x) 都是递增函数，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3-a>1,,a>1,) ) 则 1＜a＜2；

如果 f(x) 和 g(x) 都是递减函数，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜3－a＜1,,0＜a＜1 ，））没有解决方案。

答案：(1,2)

三、回答问题

8. 比较以下日志值集的大小：

(1)lg1.6 和 lg2.9;

(2)lg21.7 和 lg23.5;

(3)lg3 和 lg3;

(4)lg0.3 和 lg20.8.

分析：(1)∵y=lgx 在 (0, +∞) 上单调递减，1.6<2.9，

∴lg1.6＞lg2.9.

(2)∵y=lg2x 在 (0, +∞) 上单调递增，并且 1.7<3.5，

∴lg21.7<lg23.5.

（3)借助y=lgx和y=lgx的图片，如图。

在 (1, +∞) 上，前者低于后者，

∴lg3<lg3.

（4)由对数函数的性质可知，lg0.3>0，lg20.8<0，

∴lg0.3＞lg20.8.

9. 给定lga(2a＋3)<lga3a，求a的取值范围。

分析：（1)当a>1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1,,2a＋3<3a,,2a＋3 ＞0, )) 解是a＞3.

(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c1(0＜a＜1,,2a＋3＞3a, ,3a>0,))

解为 0＜a＜1.

综上所述，a的范围是(0,1)∪(3, +∞)。

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10. 假设a>0且a≠1，f(lgax)=eq \f(a,a2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1 (x －\F(1,x)))。

(1)求 f(x);

(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；

(3)对于f(x)，当x∈(-1,1),f(1－m)+f(1－2m)<0时，求m的取值范围。

分析：(1)令t=lgax(t∈R)，

则x=at，且f(t)=eq \f(a,a2－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(at－\f( 1, 在))),

所以 f(x)=eq \f(a,a2－1)(ax－a－x)(x∈R);

(2)因为f(－x)=eq \f(a,a2－1)(a－x－ax)

= -F(x),

并且 x ∈ R，所以 f(x) 是一个奇函数。

当 a>1 时，ax-ax 为递增函数，

并注意 eq \f(a,a2－1)＞0,

所以此时f(x)是一个递增函数；

当 0<a<1 时，同样可以证明 f(x) 是递增函数。

所以 f(x) 是 R 上的递增函数；

(3)因为f(1－m)+f(1－2m)<0，而且f(x)是奇函数，

所以 f(1－m)<f(2m－1)。

因为 f(x) 是 (-1,1),

所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-1＜1－m＜1,, －1＜2m－1＜1,,1－m＜2m－1.))

要解决它，得到 eq \f(2,3)＜m＜1.

即m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3),1)).

X

1

5

10

15

20

25

30

y1

2

26

101

226

401

626

901

y2

2

32

1 024

32 768

1.05×106

3.36×107

1.07×109

y3

2

10

20

30

40

50

60

y4

2

4.322

5.322

5.907

6.322

6.644

6.907